武汉大学数学与统计学院2008－2009第二学期《线性代数D》（工36学时，A卷答案）一、(10分)解：二、(15分)解：由又知可逆。可得，并可求得三、（15分）解：令其中的前三列显然线性无关。故向量组的秩为3，且构成一个极大无关组。注意到的第一、二列可以表达第四列，而第一、二列又不能表达第三列，因此，第一、二、四列不能表达第三列，也即不能由表达。容易看出，故只有不能由其余向量线性表达。四、(15分）解：经计算,因此方程组有唯一解。时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形:因，即时无解。时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形:因，所以时有无穷多解。等价方程组为:令，得通解为：五、(15分）解：1)能；设的特征值为，则的特征值为，由知，从而。12)不能；易知非零，但，于是由可求得全部线性无关的特征向量的个数为（因为，其中为的秩），故不存在个线性无关的特征向量，从而不存在任何对角阵和相似。3）能；易知的特征值为，从而。六、(15分)解：1)二次型的矩阵为A＝;|E-A|＝=(+1)(－2)所以A的全部特征值为：＝－1,＝＝2对=—1,解(－E－A)X＝0得基础解系为＝(1,1,1)；对＝＝2,解(2E—A)X＝0得基础解系为＝(1,—1,0),＝(1,0,—1)。2).将正交单位化，可得正交矩阵＝即为所求正交阵，且＝.3).七、(15分)证：由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的。设是齐次线性方程组的一个基础解系，则可设等价的线性无关向量组为。另外，由与基础解系等价，知可由线性表出，从而也是原齐次线性方程组的解。又由题设知也可由线性表出。从而知齐次线性方程组的所有解也可由线性表出。即证也是一个基础解系。2
