[基础题组练]1.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长为，A1B1长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧．则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为()A.B.C.D.解析：选B.以O为坐标原点建系如图，则A(0，1，0)，A1(0，1，1)，B1，C.所以AA1＝(0，0，1)，B1C＝(0，－1，－1)，所以cos〈AA1，B1C〉＝＝＝－，所以〈AA1，B1C〉＝，所以异面直线B1C与AA1所成的角为.故选B.2．如图，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为()A.B.C.D.解析：选A.如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C1(0，3，1)，D1(0，0，1)，E(1，1，0)，C(0，3，0)，所以DC1＝(0，3，1)，D1E＝(1，1，－1)，D1C＝(0，3，－1)．设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则即即取y＝1，得n＝(2，1，3)．因为cos〈DC1，n〉＝＝＝，所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为，故选A.3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以A1D＝(0，1，－1)，A1E＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则即所以所以n1＝(1，2，2)．又平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.4．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________．解析：设正三棱柱的棱长为2，取AC的中点D，连接DG，DB，分别以DA，DB，DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B1(0，，2)，F(1，0，1)，E，G(0，0，2)，B1F＝(1，－，－1)，EF＝，GF＝(1，0，－1)．设平面GEF的法向量n＝(x，y，z)，则即取x＝1，则z＝1，y＝，故n＝(1，，1)为平面GEF的一个法向量，所以|cos〈n，B1F〉|＝＝，所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.答案：5．(2019·高考全国卷Ⅱ)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE＝A1E，求二面角B－EC－C1的正弦值．解：(1)证明：由已知得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1，所以BE⊥平面EB1C1.(2)由(1)知∠BEB1＝90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB＝...
