[基础题组练]1．在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．解：(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．设P(x，y)，由题设得消去k得x2－y2＝4(y≠0)．所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝，代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.当α＝时，l与⊙O交于两点．当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.综上，α的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数，＜α＜)．设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是(α为参数，＜α＜)．3．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.(1)求曲线C的直角坐标方程；(2)已知直线l过点P(1，0)且与曲线C交于A，B两点，若|PA|＋|PB|＝，求直线l的倾斜角α.解：(1)由ρ＝2cos＝2(cosθ＋sinθ)⇒ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)⇒x2＋y2＝2x＋2y⇒(x－1)2＋(y－1)2＝2.故曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)由条件可设直线l的参数方程为(t为参数)，代入圆的方程，有t2－2tsinα－1＝0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2sinα，t1t2＝－1，|PA|＋|PB|＝|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，解得sinα＝或sinα＝－(舍去)，故α＝或.4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为ρ＝4sin.(1)写出曲线C的极坐标方程以及曲线D的直角坐标方程；(2)若过点A(极坐标)且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，...
