第3讲等比数列一、填空题1．已知{an}，{bn}都是等比数列，给出下列结论：①{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列；②{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列；③{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列；④{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列．其中正确的是________(填序号)．解析两个等比数列的积仍是一个等比数列．答案③2．(2017·苏北四市调研)在等比数列{an}中，已知a2·a5＝－32，a3＋a4＝4，且公比为整数，则a10＝________.解析设等比数列{an}的公比为q(q∈Z)，且a2·a5＝a3·a4＝－32，a3＋a4＝4，解得a3＝－4，a4＝8，q＝＝－2，则a10＝a4q6＝8×(－2)6＝512.答案5123．(2015·全国Ⅱ卷改编)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝________.解析设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.答案424．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝________.解析由解得或∴或∴a1＋a10＝a1(1＋q9)＝－7.答案－75．(2017·南京、盐城模拟)设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.解析依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80.S40＝150.答案1506．(2017·扬州中学模拟)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________．解析两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3.即q＝3.答案37．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．解析因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1舍去，a6＝a2q4＝1×22＝4.答案48．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3S2，a3＝2，则a7＝________.解析设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1且q＞0，因为S4＝3S2，所以＝，解得q2＝2，因为a3＝2，所以a7＝a3q4＝2×22＝8.答案8二、解答题9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.(1)求an；(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.解(1)设{an}的公比为q，依题意得解得因此，an＝3...
