第2讲四种命题和充要条件1．(2015·山东卷改编)设m∈R,命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是______________．解析根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤02．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．解析因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．答案充要3．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，则“m∥β”是“α∥β”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．解析m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．答案必要不充分4．“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．答案25．“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．解析cos2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cosα＝±sinα.由cosα＝sinα得到cos2α＝0；反之不成立．∴“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要条件．答案充分不必要6．(2017·安徽江南十校联考改编)“a＝0”是“函数f(x)＝sinx－＋a为奇函数”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个)．解析显然a＝0时，f(x)＝sinx－为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝0.又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－＋a＋sinx－＋a＝0.因此2a＝0，故a＝0.所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件．答案充要7．给出以下结论：①命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；②“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件；③命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”．则其中错误的是________(填序号)．解析③中命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题．①②④均正确．答案③8．设x∈R，则“1
