第4讲平面向量应用举例一、填空题1．已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.解析因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2××＝10.答案102．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|2，则△ABC的形状一定是________三角形(填“等边”、“等腰”、“直角”、“等腰直角”)．解析由(BC＋BA)·AC＝|AC|2，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0,2AC·BA＝0，∴AC⊥BA，∴A＝90°.又根据已知条件不能得到|AB|＝|AC|，故△ABC一定是直角三角形．答案直角3．(2017·深圳调研)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，则AB·AC＝________.解析由余弦定理得cosA＝＝＝－，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝2×2×＝－2.答案－24．(2017·扬州中学质检)设O是△ABC的外心(三角形外接圆的圆心)．若AO＝AB＋AC，则∠BAC等于________(用角度表示)．解析取BC的中点D，连接AD，则AB＋AC＝2AD.由题意得3AO＝2AD，∴AD为BC的中线且O为重心．又O为外心，∴△ABC为正三角形，∴∠BAC＝60°.答案60°5．(2017·南京师大附中模拟)在平面内，若A(1,7)，B(5,1)，M(2,1)，点P是直线OM上的一个动点，且PA·PB＝－8，则cos∠APB＝________.解析由题意可得直线OM的方程为y＝x，设P(2y，y)，则PA＝(1－2y,7－y)，PB＝(5－2y,1－y)，所以PA·PB＝(1－2y,7－y)·(5－2y,1－y)＝5y2－20y＋12＝－8，解得y＝2，所以P(4,2)，PA＝(－3,5)，PB＝(1，－1)，所以cos∠APB＝＝－＝－.答案－6．(2017·苏北四市模拟)已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(，－1)，则|2a－b|的最大值与最小值的和为________．解析由题意可得a·b＝cosθ－sinθ＝2cos，则|2a－b|＝＝＝∈[0,4]，所以|2a－b|的最大值与最小值的和为4.答案47．(2017·苏州调研)已知m＝(cosα，sinα)，n＝(2,1)，α∈，若m·n＝1，则sin＝________.解析因为m·n＝2cosα＋sinα＝1，所以sinα＝1－2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1中，整理得5cos2α－4cosα＝0，解得cosα＝或cosα＝0(舍去)，故sin＝－cos2α＝1－2cos2α＝－.答案－8．(2017·南京、盐城模拟)在△ABC中，A＝120°，AB＝4.若点D在边BC上，用BD＝2DC，AD＝，则AC的长为________．解析由题意可得AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，则|AD|2＝2＝|AB|2＋·|AB|·|AC|cosA＋|AC|2，即＝＋×4|AC|×＋|AC|2，化简得|AC|2－2|AC|－3＝0，解得|AC|＝3，即AC的长为3.答案3二、解答题9．...
