2023学年福建省莆田市第二十四中学高三3月份模拟考试数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线，F为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 2．若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．设是虚数单位，若复数，则（ ） A． B． C． D． 5．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（ ） A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2 8．的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A．-40 B．-20 C．20 D．40 9．已知为坐标原点，角的终边经过点且，则( ) A． B． C． D． 10．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 11．已知为虚数单位，实数满足，则 (　　 ) A．1 B． C． D． 12．已知的共轭复数是，且（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．的展开式中的常数项为______. 14．如图，、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，若，，则双曲线的离心率是______. 15．已知（且）有最小值，且最小值不小于1，则的取值范围为__________. 16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴的弦，则的内切圆方程是________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分） [2018·石家庄一检]已知函数． （1）若，求函数的图像在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，，且，求证：． 18．（12分）在直角坐标系中，已知直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线和直线的极坐标方程； （2）已知直线与曲线、相交于异于极点的点，若的极径分别为，求的值. 19．（12分）如图，在四棱锥中，是边长为的正方形的中心，平面，为的中点. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若，求二面角的余弦值. 20．（12分）如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面. （1）求证: 是的中点； （2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 21．（12分）设函数. (Ⅰ)当时，求不等式的解集； (Ⅱ)若函数 的图象与直线所围成的四边形面积大于20,求的取值范围. 22．（10分）如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据可知,再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可. 【题目详解】 由题意可知抛物线方程为,设点点,则由抛物线定义知,,则. 由得,则. 又MN为过焦点的弦,所以,则,所以. 故选：A 【答案点睛】 本题考查抛物线的方程应用,同时也考查了焦半径公式等.属于中档题. 2、B 【答案解析】 利用向量的数量积运算即可算出． 【题目详解】 解： ，， 又在上 ， 故选： 【答案点睛】 本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 3、B 【答案解析】 根据三角函数的两角和差公式得到，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【题目详解】 函数 则函数的最大值为2， 存在实数，使得对任意实数总有成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即 故答案为：B. 【答案点睛】 这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合. 4、A 【答案解析】 结合复数的除法运算和模长公式求解即可 【题目详解】 ∵复数，∴，，则， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题 5、B 【答案解析】 由余弦的二倍角公式化简函数为，要想在括号内构造变为正弦函数，至少需要向左平移个单位长度，即为答案. 【题目详解】 由题可知，对其向左平移个单位长度后，，其图像关于坐标原点对称 故的最小值为 故选：B 【答案点睛】 本题考查三角函数图象性质与平移变换，还考查了余弦的二倍角公式逆运用，属于简单题. 6、A 【答案解析】 根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【题目详解】 当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立， 当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件． 当m≠0时，则l1∥l2⇒， 由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2， 由得m≠2，则m=1， 即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件， 故答案为：A 【答案点睛】 （1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合. 7、B 【答案解析】 将u= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【题目详解】 解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得： ，即， 当时，取到最大值2， 因为在上单调递增，则取到最大值. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,. 8、D 【答案解析】 令x=1得a=1.故原式=．的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D 解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x. 故常数项==-40+80=40 9、C 【答案解析】 根据三角函数的定义，即可求出，得出，得出和，再利用二倍角的正弦公式，即可求出结果. 【题目详解】 根据题意，，解得， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三角函数定义的应用和二倍角的正弦公式，考查计算能力. 10、B 【答案解析】 由且可得，故选B. 11、D 【答案解析】 ， 则 故选D. 12、D 【答案解析】 设，整理得到方程组，解方程组即可解决问题． 【题目详解】 设， 因为，所以， 所以，解得：， 所以复数在复平面内对应的点为，此点位于第四象限. 故选D 【答案点睛】 本题主要考查了复数相等、复数表示的点知识，考查了方程思想，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、160 【答案解析】 先求的展开式中通项，令的指数为3即可求解结论. 【题目详解】 解：因为的展开式的通项公式为：； 令，可得； 的展开式中的常数项为：. 故答案为：160. 【答案点睛】 本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，属于基础题． 14、 【答案解析】 根据三角形中位线证得，结合判断出垂直平分，由此求得的值，结合求得的值. 【题目详解】 ∵，∴为中点，，∵，∴垂直平分，∴，即，∴，，即. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 15、 【答案解析】 真数有最小值，根据已知可得的范围，求出函数的最小值，建立关于的不等量关系，求解即可. 【题目详解】 ，且（且）有最小值， ， 的取值范围为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查对数型复合函数的性质，熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键，属于基础题. 16、 【答案解析】 利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用圆心到直线AB的距离等于半径可得到圆心坐标. 【题目详解】 由已知，，，，设内切圆的圆心为，半径为，则 ，故有， 解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为 . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1） （2）见解析 【答案解析】 试题分析：（1）分别求得和，由点斜式可得切线方程； （2）由已知条件可得有两个相异实根，，进而再求导可得，结合函数的单调性可得，从而得证. 试题解析： （1）由已知条件，，当时，， ，当时，，所以所求切线方程为 （2）由已知条件可得有两个相异实根，， 令，则， 1）若，则，单调递增，不可能有两根； 2）若， 令得，可知在上单调递增，在上单调递减， 令解得， 由有， 由有， 从而时函数有两个极值点， 当变化时，，的变化情况如下表 单调递减 单调递增 单调递减 因为，所以，在区间上单调递增， ． 另解：由已知可得，则，令， 则，可知函数在单调递增，在单调递减， 若有两个根，则可得， 当时， ， 所以在区间上单调递增， 所以． 18、（1），.（2） 【答案解析】 （1）先将曲线的参数方程化为直角坐标方程，即可代入公式化为极坐标；根据直线的直角坐标方程，求得倾斜角，即可得极坐标方程. （2）将直线的极坐标方程代入曲线、可得，进而代入可得的值. 【题目详解】 （1）曲线的参数方程为（为参数）， 消去得， 把，代入得， 从而得的极坐标方程为， ∵直线的直角坐标方程为，其倾斜角为， ∴直线的极坐标方程为. （2）将代入曲线的极坐标方程分别得到 ， 则. 【答案点睛】 本题考查了参数方程化为普通方程的方法，直角坐标方程化为极坐标方程的方法，极坐标的几何意义，属于中档题. 19、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）. 【答案解析】 （Ⅰ）由正方形的性质得出，由平面得出，进而可推导出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论； （Ⅱ）