-1-二一般形式的柯西不等式-2-二一般形式的柯西不等式ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握三维形式和多维形式的柯西不等式.2.会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题.-3-二一般形式的柯西不等式ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.一般形式的柯西不等式的应用剖析:我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等问题,但往往不能直接应用,需要对数学式子的形式进行变化,拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构,才能应用,因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键,也是难点.我们要注意在应用柯西不等式时,对于数学式子中数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序,以便能使其形式一致起来,然后应用解题.2.正确利用“1”剖析:数字“1”的利用非常重要,为了利用柯西不等式,除了拼凑应该有的结构形式外,对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契.教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形的灵活性.-4-二一般形式的柯西不等式ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型一三维形式的柯西不等式【例1】在△ABC中,设其各边长分别为a,b,c,外接圆半径为R,求证:(a2+b2+c2)ቀ1sin2𝐴+1sin2𝐵+1sin2𝐶ቁ≥36R2.证明: 𝑎sin𝐴=𝑏sin𝐵=𝑐sin𝐶=2R,∴(a2+b2+c2)ቀ1sin2𝐴+1sin2𝐵+1sin2𝐶ቁ≥ቀ𝑎sin𝐴+𝑏sin𝐵+𝑐sin𝐶ቁ2=36R2.∴原不等式成立.反思由a,b,c构成新的数,形成三维形式的柯西不等式.这从所给的数学式的结构中看出,需要有较高的观察能力.-5-二一般形式的柯西不等式ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】设a,b,c为正数,求证:𝑎2𝑏+𝑏2𝑐+𝑐2𝑎≥a+b+c.证明:由柯西不等式,知൬𝑎2𝑏+𝑏2𝑐+𝑐2𝑎൰(a+b+c)=ቀ𝑎ξ𝑏ቁ2+ቀ𝑏ξ𝑐ቁ2+ቀ𝑐ξ𝑎ቁ2൨·[(ξ𝑎)2+(ξ𝑏)2+(ξ𝑐)2]≥ቀ𝑎ξ𝑏·ξ𝑏+𝑏ξ𝑐·ξ𝑐+𝑐ξ𝑎·ξ𝑎ቁ2=(a+b+c)2. a,b,c为正数,∴a+b+c>0.∴𝑎2𝑏+𝑏2𝑐+𝑐2𝑎≥a+b+c.-6-二一般形式的柯西不等式ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四题型二多维形式的柯西不等式【例2】已知a1,a2,…,an都是正实数,且a1+a2+…+an=1.求证:𝑎12𝑎1+𝑎2+𝑎22𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛-12𝑎𝑛-1+𝑎𝑛+...
