1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】【解析】,极限,而,所以.(2)【答案】【解析】令则有,则由复合函数求导法则知(3)【答案】【解析】利用几何级数求和公式令,即得(4)【答案】【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.由于,说明中3阶子式全为0,于是的代数余子式故.所以秩若熟悉伴随矩阵秩的关系式易知注：按定义伴随矩阵是阶矩阵,它的元素是行列式的代数余子式,是阶子式.(5)【答案】【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.因X的方差为,设X的期望为,则.当置信度为,时,有正态分布表知.因此用公式：.将代入上式,得到所求的置信区间为.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(C)【解析】利用函数连续定义判定.由于当时,为有界变量,为无穷小量,则,且于是在处连续.故(A)(B)不正确.又因为不存在,所以在处不可导,所以选(C).【相关知识点】函数连续定义：如果函数在处连续,则有.(2)【答案】(A)【解析】【相关知识点】积分上限函数的求导公式：.(3)【答案】(B)【解析】有个线性无关的特征向量.由于当特征值时,特征向量线性无关.从而知,当有个不同特征值时,矩阵有个线性无关的特征向量,那么矩阵可以相似对角化.因为当的特征值有重根时,矩阵仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B).(4)【答案】(D)【解析】的充分必要条件是,即.显然四个选项中,当时,,可得.因此是的充分条件.因此选(D).(5)【答案】(B)【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有随机变量的密度函数为,则,又由于,所以,(偶函数积分的性质)即.于是.故应选(B).三、(本题满分5分)【解析】方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得整理后得由此,得.方法二：应先求出函数对的偏导数,将两边分别对求偏导,解之得,.故.四、(本题满分7分)【解析】,令,则当时,,,所以.而,由得,所以或五、(本题满分9分)【解析】(1)利润函数为,对求导,并令,得,得.因为所以,当时为利润函数的极大值点,根据题意也是利润的最大值点,所以.(2)因为,所以,故需求对价格的弹性为.(3)由得.六、(本题满分8分)【解析】由题设可得示意图如右.设,则,即.两端求导,得,即.由一阶线性非齐次微分方程求解公...
