2002考研数三真题解析.doc

2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) 设常数，则 (2) 交换积分次序：. (3) 设三阶矩阵，三维列向量.已知与线性相关，则 . (4) 设随机变量和的联合概率分布为 -1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 则和的协方差. (5) 设总体的概率密度为 而是来自总体的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，则 ( ) (A)当时，存在，使. (B)对任何，有. (C)当时，存在，使. (D)存在，使. (2) 设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为 ( ) (A) 5 (B) (C) (D) (3) 设是矩阵，是矩阵，则线性方程组 ( ) (A)当时仅有零解 (B)当时必有非零解 (C)当时仅有零解 (D)当时必有非零解 (4) 设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵，已知维列向量是的属于特征值的 特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是 ( ) (A) (B) (C) (D) (5) 设随机变量和都服从标准正态分布，则 ( ) (A)服从正态分布 (B)服从分布 (C)和都服从分布 (D)服从分布 三、(本题满分5分) 求极限 四、(本题满分7分) 设函数有连续偏导数，且由方程所确定，求. 五、(本题满分6分) 设求. 六、(本题满分7分) 设是由抛物线和直线及所围成的平面区域；是由抛物线和直线所围成的平面区域，其中. (1)试求绕轴旋转而成的旋转体体积；绕轴旋转而成的旋转体体积； (2)问当为何值时，取得最大值？试求此最大值. 七、(本题满分7分) (1)验证函数满足微分方程 (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数. 八、(本题满分6分) 设函数在上连续，且.利用闭区间上连续函数性质，证明存在一点，使 . 九、(本题满分8分) 设齐次线性方程组 其中，试讨论为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解. 十、(本题满分8分) 设为三阶实对称矩阵，且满足条件，已知的秩 (1)求的全部特征值 (2)当为何值时，矩阵为正定矩阵，其中为三阶单位矩阵. 十一、(本题满分8分) 假设随机变量在区间上服从均匀分布，随机变量 试求：(1)和的联合概率分布；(2). 十二、(本题满分8分) 假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布，平均无故障工作的时间 为5小时.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数. 2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题 (1)【答案】 【详解】里面为型，通过凑成重要极限形式来求极限， ． (2)【答案】 【详解】画出与原题中二次积分的限所对应的积分区域与，将它们的并集记为． 于是 ． 再将后者根据积分定义化为如下形式，即，所以 (3)【答案】 【详解】 由于与线性相关，(两个非零向量线性相关，则对应分量成比例)，所以有 ，得 或(两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出) 即 ，得 ，得 (4)【答案】． 【详解】、和都是分布，而分布的期望值恰为取时的概率． 由离散型随机变量和的联合概率分布表可得的可能取值为0和1，且的可能取值也为0和1，且和的边缘分布为 ；； ；； ； 故有 而边缘分布律： ，， ， 所以，的联合分布及其边缘分布为 0 1 0 0．18 0．22 0．40 1 0．32 0．28 0．60 0．50 0．50 1 由上表同理可求得的分布律为 0 1 0．72 0．28 所以由分布的期望值恰为取1时的概率得到： (5)【答案】． 【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望) 期望 样本均值 用样本均值估计期望有 ，即 ， 解得未知参数的矩估计量为 ． 二、选择题 (1)【答案】(B) 【详解】方法1：论证法．由题设在开区间内可导，所以在内连续，因此，对于内的任意一点，必有 即有．故选(B)． 方法2：排除法． (A)的反例：，有，但在内无零点． (C)与(D)的反例， ，但(当)，不满足罗尔中值定理，当然也不满足拉格朗日中值定理的结论．故选(B)． (2)【答案】(D) 【详解】方法1：是矩阵，是矩阵，则是阶方阵，因 ． 当时，有．(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组必有非零解，故应选(D)． 方法2：是矩阵, 当时,，则，(系数矩阵的秩小于未知数的个数)方程组必有非零解，即存在，使得，两边左乘，得，即有非零解，故选(D)． (3)【答案】(B) 【详解】方法1：由题设根据特征值和特征向量的定义，，是阶实对称矩阵，故．设，则 上式左乘，右乘，得 ，即， 所以 两边左乘，得 得 根据特征值和特征向量的定义，知的对应于特征值的特征向量为，即应选(B)． 方法2：逐个验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪个选项满足，由题设根据特征值和特征向量的定义，，是阶实对称矩阵，故．设属于特征值的特征向量为，即，其中 对(A)，即令，代入 对(B)， 成立．故应选(B)． (4)【答案】C 【分析】(i)变量的典型模式是：，其中要求满足：相互独立，．称为参数为的变量． (ii) 变量的典型模式是：，其中要求满足：与相互独立，，称为参数为的变量． 【详解】方法1：根据题设条件，和均服从．故和都服从分布，答案应选(C)． 方法2：题设条件只有和服从，没有与的相互独立条件．因此，与的独立条件不存在，选(B)、(D)项均不正确． 题中条件既没有与独立，也没有正态，这样就不能推出服从正态分布的选项(A)．根据排除法，正确选项必为(C)． 三【详解】 ． 四【详解】方法1：用一阶微分形式不变性求全微分． 由所确定，两边求全微分，有 ， 解出 所以 方法2：(根据多元函数偏导数的链式法则) 下面通过隐函数求导得到，．由两边对求偏导数，有 得，．类似可得，，代入表达式 ， 再代入 中，得 ． 五【详解】首先要从求出． 命，则有，，于是．(通过换元求出函数的表达式) (换元积分法) (分部积分法) ． 六【分析】旋转体的体积公式：设有连续曲线，与直线及轴围成平面图形绕轴旋转一周产生旋转体的体积. 【详解】(1) ． (2) 根据一元函数最值的求法要求驻点，令 , 得. 当时，当时，因此是的唯一极值点且是极大值点，所以是的最大值点，． 七【解】(1) ， 由收敛半径的求法知收敛半径为，故由幂级数在收敛区间上逐项可导公式得 ， 同理得 从而 (由的麦克劳林展开式) 这说明，是微分方程的解，并且满足初始条件 ，. (2)微分方程对应的齐次线性方程为，其特征方程为，其特征根为，所以其通解为 . 另外，该非齐次方程的特解形式为，代入原非齐次方程得，所以.故微分方程的通解为 . 故 由初始条件得 解得 ， 于是得到惟一的一组解：从而得到满足微分方程及初始条件的解，只有一个，为 另一方面，由(1)已知也是微分方程及初始条件的解，由微分方程解的唯一性，知 八【详解】方法1：因为与在上连续，所以存在使得 ，， 满足．又，故根据不等式的性质 根据定积分的不等式性质有 所以 由连续函数的介值定理知，存在，使 即有 ． 方法2：因为与在上连续，且，故与都存在，且 记，于是即 因此必存在使．不然，则在内由连续函数的零点定理知要么恒为正，从而根据积分的基本性质得；要么恒为负，同理得，均与不符．由此推知存在使，从而 ． 九【详解】方法1：对系数矩阵记为作初等行变换 当时，的同解方程组为，基础解系中含有个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取为自由未知量，分别取，，…, 得方程组个线性无关的解 ， 为基础解系，方程组的全部解为，其中是任意常数． 当时， 当且时，，仅有零解. 当时，的同解方程组是 基础解系中含有个线性无关的解向量，取为自由未知量，取，得方程组个非零解，即其基础解系，故方程组的全部解为 ，其中是任意常数． 方法2：方程组的系数行列式 (1)当且时，，方程组只有零解． (2)当时， 方程组的同解方程组为 基础解系中含有个(未知数的个数-系数矩阵的秩)线性无关的解向量，取为自由未知量，分别取，，…, 得方程组个线性无关的解 ， 为基础解系，方程组的全部解为，其中是任意常数． (1)当时， ，其同解方程组是 基础解系中含有个线性无关的解向量，取为自由未知量，取，得方程组个非零解，即其基础解系，故方程组的全部解为 ，其中是任意常数． 十【详解】(1) 设是的任意特征值，是的属于的特征向量，根据特征值、特征向量的定义，有 ① 两边左乘，得 ② ②+2*①得 因，，从而上式， 所以有，故的特征值的取值范围为． 因为是实对称矩阵，所以必相似于对角阵，且的主对角线上元素由的特征值组成，且，故的特征值中有且只有一个0. (若没有0，则，故与已知矛盾；若有两个0，则，故与已知矛盾；若三个全为0，则，故与已知矛盾). 故 即有特征值． (2)是实对称矩阵，有特征值，知的特征值为．因为矩阵正定的充要条件是它的所有的特征值均大于零，故 正定 故时是正定矩阵． 十一【分析】有四个可能值，可以逐个求出．在计算过程中要注意到取值与的值有关．的分布为均匀分布，计算概率不用积分都行，可以直接看所占区间的长度比例即可． 【详解】只有四个可能值．依照题意，有 于是，分布为 (2) 因为，所以我们应该知道和的分布律． 对离散型随机变量，的取值可能有的取值可能有0和4； ． 和的分布律分别为 0 4 0 2 和 所以由离散型随机变量的数学期望计算公式有： 所以有，． 十二【详解】首先找出随机变量的表达式． 由和2(小时)来确定，所以． 指数分布的的分布参数为 其密度函数为： 其中是参数 由分布函数的定义： (1) 当时，(因为，其中和2都大于0，那么小于0是不可能事件) (2) 当时，(因为最大也就取到2，所以小于等于2是一定发生的，是必然事件) (3) 当时, 所以