1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)(1)【答案】【解析】方法1：方程两边取对数得,再两边求微分,.方法2：把变形得,然后两边求微分得,由此可得(2)【答案】【解析】由,两边求导数有,于是有.(3)【答案】(或),任意【解析】对两边求导得所以过的切线方程为即又题设知切线过原点,把代入上式,得1即由于系数,所以,系数应满足的关系为(或),任意.(4)【答案】【解析】因为是范德蒙行列式,由知.根据解与系数矩阵秩的关系,所以方程组有唯一解.根据克莱姆法则,对于,易见所以的解为,即.【相关知识点】克莱姆法则：若线性非齐次方程组或简记为其系数行列式,则方程组有唯一解其中是用常数项替换中第列所成的行列式,即2.(5)【答案】【解析】可以用两种方法求解：(1)已知方差,对正态总体的数学期望进行估计,可根据因,设有个样本,样本均值,有,将其标准化,由公式得：由正态分布分为点的定义可确定临界值,进而确定相应的置信区间.(2)本题是在单个正态总体方差已知条件下,求期望值的置信区间问题.由教材上已经求出的置信区间,其中,可以直接得出答案.方法1：由题设,,可见查标准正态分布表知分位点本题,,因此,根据,有,即,故的置信度为0.95的置信区间是.31xyO1212方法2：由题设,,查得,,代入得置信区间.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】方法1：由题设知,积分区域在极坐标系中是即是由与轴在第一象限所围成的平面图形,如右图.由于的最左边点的横坐标是,最右点的横坐标是1,下边界方程是上边界的方程是,从而的直角坐标表示是故(D)正确.方法2：采取逐步淘汰法.由于(A)中二重积分的积分区域的极坐标表示为而(B)中的积分区域是单位圆在第一象限的部分,(C)中的积分区域是正方形所以,他们都是不正确的.故应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由于级数和都收敛,可见级数收敛.由不等式4及比较判别法知级数收敛,从而收敛.又因为即级数收敛,故应选(A).设,可知(B)不正确.设,可知(C)不正确.设,可知(D)不正确.注：在本题中命题(D)“若级数收敛,且,则级数也收敛.”不正确,这表明：比较判别法适用于正项级数收敛(或级数绝对收敛)的判别,但对任意项级数一般是不适用的.这是任意项级数与正项级数收敛性判别中的一个根本区别.(3)【答案】(C)【解析】伴随矩阵的基本关系式为,现将视为关系式中的矩阵,则有...
