初中数学竞赛精品标准教程及练习42：型如 的证明.docVIP免费

初中数学竞赛精品标准教程及练习(42)型如cba111的证明一、内容提要型如cba111的证明,通常是证明它的等价命题第一种转化为线段的比例式cba111)1(1bcac)2(bcbac)3(cbaba（1）可证,acab和两个同分母的分式分别相等，例如,pmpn当m+n=p时等式成立（2）可证明c,a,b－c,b四条线段成比例，关鍵是作出b－c的差（3）可证明a+b,a,b,c四条线段成比例，关鍵是作出a+b的和第二种转化为线段的乘积式cba111bc+ac=ab(4)(4)常用两个图形的面积和等于另一个图形的面积二、例题例1.已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，O是AC和BD的交点，OE∥AB交BC于有E求证：OECDAB111分析：OECDAB1111CDOEABOE证明ABOE，CDOE分别和BCCE，BCBE相等即可（下略）例2.已知：在△ABC中，∠ACB＝120，CD是角平分线求证：CDCBCA111分析一：CDCBCA111CDCBCACBCA延长AC到E，使CE＝CB，可证△BCE为等边，BE∥CD分析二：CDCBCA111CACD＝CBCDCB在CB上截取CE＝CD，可证△CDE为等边三角形，DE∥CA分析三：CDCBCA111CA×CD＋CB×CD＝CA×CB可由S△CAD＋S△CBD＝S△CAB证得证明： S△CAD＋S△CBD＝S△CAB1ABCDOEABCEDABCDE∴21CA×CDSin∠ACD＋21CB×CDSin∠BCD=21CA;xCBSin∠ACB Sin120=Sin60,∴CA×CD＋CB×CD＝CA×CB∴CDCBCA111例3.已知：△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶4求证：BCACAB111分析：BCACAB1111ACBCABBCACBCACABBC在AC上取CD＝BC，证明ACADABBC即可，要创造相似三角形，作角平分线CE，连结DE，得△ACE∽△ABC，再证CE＝DE＝AD证明：在AC上取CD＝BC，作角平分线CE，连结DE显然△CDE≌△CBE，∠DCE＝∠BCE＝2α∠CDE＝∠B＝2α， ∠A＝α，∴∠DEA＝α∴CE＝ED＝DA △ACE∽△ABC，∴ABACBCCE，ABACBCAD,ABACBCCDACABACBCBCAC,ABBCACBCAC,1－ABBCACBC∴BCACAB111例4.已知：点C和点D分别内分、外分线段AB为同一个比即AC∶CB＝AD∶DB＝κ（称C，D调和分割AB）求证：ABADAC211分析：ABADAC2112ADABACABADABACAB11ADABADACACABADDBACCB2ABCDABCEDADBCDBADCBAC＝κ（证明步骤是分析的倒逆）例5.如图已知：△ABC中，BC＝a,高AD＝h,内接正方形EFGH边长为m求证：mha111分析：mha111hm+am=ah,可用面积公式证证明： S△AEF＋S梯形EFGH＝S△ABC∴ADBCHEBCEFAKEF21)(2121即m(h-m)+(m+a)m=ah,mh+ma=ah...