初中数学竞赛精品标准教程及练习(64)最大最小值一、内容提要1.求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+ab2)2+abac442. 在实数范围内(x+ab2)2≥0，∴若a>0时，当x=－ab2时，y最小值=abac442；若a<0时，当x=－ab2时，y最大值=abac442.②判别式法：原函数可化为关于x的二次方程ax2+bx+c－y=0. x在全体实数取值时，∴△≥0即b2－4a(c－y)≥0，4ay≥4ac－b2.若a>0，y≥abac442，这时取等号，则y为最小值abac442；若a<0，y≤abac442，这时取等号，则y为最大值abac442.有时自变量x定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2.用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大.最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x和y，如果x+y=10,那么xy的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小.最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x和y，如果xy=16,那么x+y有最小值，最小值是8.证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a>0,b>0,a+b=k.(k为定值).那么ab=a(k－a)=－a2+ka=－(a－21k)2+42k.1当a=2k时，ab有最大值42k.证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法.设a>0,b>0,ab=k(k为定值)，再设y=a+b.那么y=a+ak,a2－ya+k=0.（这是关于a的二次议程方程） a为正实数，∴△≥0.即(－y)2－4k≥0，y2－4k≥0.∴y≤－2k(不合题意舍去)；y≥2k.∴y最小值=2k.解方程组.2kabkba，得a=b=k.∴当a=b=k时，a+b有最小值2k.3.在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值.当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值.当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1.已知：3x2+2y2=6x,x和y都是实数，求：x2+y2的最大、最小值.解：由已知y2=2362xx, y是实数，∴y2≥0.即2362xx≥0，6x－3x2≥0，x2－2x≤0.解得0≤x≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x2+y2=x2+2362xx=－21(x－3)2+29在区间0≤x≤2中，当x=2时，x2+y2有最大值4.∴当x=0时，x2+y2=0是最小值.例2.已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等.求：这个矩形周长、面积的最小值.解：用构造方...
