初中数学竞赛精品标准教程及练习44：数的整除（二）.docVIP免费

初中数学竞赛精品标准教程及练习（44）数的整除（二）一、内容提要第一讲介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.几个常用的定理，公式，法则：⑴n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）.例如：a为整数时，2a(a+1)，6a(a+1)(a+2),24a(a+1)(a+2)(a+3)，……⑵若ab且ac,则a(bc).⑶若a,b互质，且ac,bc，则abc.反过来也成立：a,b互质，abc，则ac,bc.例如：8和15互质，8｜a,15|a，则120｜a.反过来也成立：若120｜a.则8｜a,15|a.⑷由乘法公式（n为正整数）推得：由(a－b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an－bn.得(a－b)|(an－bn).(a+b)(a2n－a2n－1b+……ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1.(a+b)|(a2n+1+b2n+1).(a+b)(a2n－1－a2n－2b+……+ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n.(a+b)|(a2n－b2n).概括起来：齐偶数次幂的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a－b.齐奇数次幂的和或差式a2n+1＋b2n+1或a2n+1－b2n+1只分别含有因式a＋b或a－b.例如（a+b）|(a6－b6),(a－b)|(a8－b8)；(a+b)|(a5+b5)，(a－b)|(a5－b5).二、例题例1.已知:整数n>2.求证：n5－5n3+4n能被120整除..证明：n5－5n3+4n＝n(n4－5n2+4)=n(n－1)(n+1)(n+2)(n－2). (n－2)(n－1)n(n+1)(n＋2)是五个连续整数，能被n!整除，∴120｜n5－5n3+4n.例2.已知：n为正整数.求证：n3+23n2+21n是3的倍数.证明：n3+23n2+21n＝21n（2n2+3n+1）=21n(n+1)(2n+1)=21n(n+1)(n+2+n－1)=21n(n+1)(n+2)+21n(n+1)(n－1). 3！｜n(n+1)(n+2)，且3！｜n(n+1)(n－1)..∴3｜21n(n+1)(n+2)+21n(n+1)(n－1).1即n3+23n2+21n是3的倍数.（上两例关鍵在于创造连续整数）例3.求证：⑴33｜255＋1；⑵1989｜（19901990－19881988）.证明：⑴255＋1＝25×11＋111＝3211＋111. (32＋1)|(3211+111)，即33｜255＋1.⑵19901990－19881988＝19901990－19881990＋19881990－19881988.（添两项） （1990＋1988）｜（19901990－19881990）.即1989×2｜（19901990－19881990）. 19881990－19881988=19881988(19882－1)＝19881988（1988＋1）（1988－1）.即19901990－19881988＝1989×2N＋1989×19881988×1987.（N是整数）∴1989｜19901990－19881988.例4设n是正整数，求证：7｜（32n+1+2n+2）.证明：32n+1+2n+2＝3×32n+4×2n=3×9n+4×2n＋3×2n－3×2n（添两项）＝（4×2n＋3×2n）＋（3×9n－3×2n）＝（4＋3）＋3（9n－2n）＝7×2n＋3（9－2）N.（N是整数）∴...