《数学分析》教案第十二章数项级数教学目的：1.明确认识级数是研究函数的一个重要工具；2.明确认识无穷级数的收敛问题是如何化归为部分和数列收敛问题的；3.理解并掌握收敛的几种判别法记住一些特殊而常用的级数收敛判别法及敛散性。教学重点难点：本章的重点是级数敛散性的概念和正项级数敛散性的判别；难点是一般级数敛散性的判别法。教学时数：18学时§1级数的收敛性一．概念：1．级数：级数，无穷级数;通项(一般项,第项),前项部分和等概念(与中学的有关概念联系).级数常简记为.2.级数的敛散性与和:介绍从有限和入手,引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝本,定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数的敛散性.（这是一个重要例题！）解时,.级数收敛;时,级数发散;时,,,级数发散;-1-《数学分析》教案时,,,级数发散.综上,几何级数当且仅当时收敛,且和为(注意从0开始).例2讨论级数的敛散性.解（利用拆项求和的方法）例3讨论级数的敛散性.解设,,=,.,.因此,该级数收敛.例4讨论级数的敛散性.解,.级数发散.-2-《数学分析》教案3.级数与数列的关系:对应部分和数列{},收敛{}收敛;对每个数列{},对应级数,对该级数,有=.于是,数列{}收敛级数收敛.可见,级数与数列是同一问题的两种不同形式.4.级数与无穷积分的关系:,其中.无穷积分可化为级数;对每个级数,定义函数,易见有=.即级数可化为无穷积分.综上所述,级数和无穷积分可以互化,它们有平行的理论和结果.可以用其中的一个研究另一个.二.级数收敛的充要条件——Cauchy准则：把部分和数列{}收敛的Cauchy准则翻译成级数的语言，就得到级数收敛的Cauchy准则.Th(Cauchy准则)收敛和N,.-3-《数学分析》教案由该定理可见,去掉或添加上或改变(包括交换次序)级数的有限项,不会影响级数的敛散性.但在收敛时,级数的和将改变.去掉前项的级数表为或.系(级数收敛的必要条件)收敛.例5证明级数收敛.证显然满足收敛的必要条件.令,则当时有应用Cauchy准则时，应设法把式||不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，确定.例6判断级数的敛散性.(验证.级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)例7(但级数发散的例)证明调和级数发散.证法一(用Cauchy准则的否定进行验证)证法二证明{}发散.利用已证明的不等式-4-《数学分析》教案.即得，.三．收敛级数的基本性质：（均给出证明）性质1收敛，—Const收敛且有=(收敛级数满足分配律)性质2和收敛，收敛,且有=.问题:、、三者之间敛散性的关系.性质3若...
