《数学分析》教案第十三章函数列与函数项级数教学目的：1.使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数；2.掌握如何利用函数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。教学重点难点：本章的重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛的概念、判别及应用。教学时数：20学时§1一致收敛性一．函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念：收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念.逐点收敛(或称为“点态收敛”)的“”定义.例1对定义在内的等比函数列,用“”定义验证其收敛域为,且例2.用“”定义验证在内.例3考查以下函数列的收敛域与极限函数:.⑴..-1-《数学分析》教案⑵..⑶设为区间上的全体有理数所成数列.令,.⑷.,.⑸有,,.（注意.）二.函数列的一致收敛性:问题:若在数集D上,.试问:通项的解析性质是否必遗传给极限函数?答案是否定的.上述例1、例3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传.例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传,但.用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初等函数的一种手段.对这种函数,就是其表达式.于是,由通项函数的解-2-《数学分析》教案析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要.那末,在什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢?一个充分条件就是所谓“一致收敛”.一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛”的结果.定义(一致收敛)一致收敛的几何意义.Th1(一致收敛的Cauchy准则)函数列在数集D上一致收敛,,.(介绍另一种形式.)证(利用式)易见逐点收敛.设,……,有.令,对D成立,即,，D.推论1在D上,，.推论2设在数集D上,.若存在数列D,使,则函数列在数集D上非一致收敛.应用系2判断函数列在数集D上非一致收敛时,常选为函数―在数集D上的最值点.验证函数一致收敛性:-3-《数学分析》教案例4.证明函数列在R内一致收敛.例5.证明在R内,但不一致收敛.证显然有,在点处取得极大值,.由系2,不一致收敛.例6.证明在内,.证易见而在内成立.由系1,……例7对定义在区间上的函数列证明:,但在上不一致收敛.P38—39例3,参图13-4.证时,只要,就有.因此,在上有-4-《数学分析》教案.,.于是,在上有.但由于,,因此,该函数列在上不一致收敛.例8.考查函数列在下列区间上的一致收敛性:⑴;⑵.三.函数项级数及其一致收敛性:1．函数项级数及其和函数：，,前项部分和函数列收敛点，收敛域,和函数,余项.例9定义在内的函数项级数(称为几何级数)的部分和函数列为,收敛域为.2....
