专题提升(十一)以平行四边形为背景的计算与证明类型之一以平行四边形为背景的计算与证明【经典母题】已知：如图Z11－1，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE＝DF.证明： 四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCF.又 BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD， AB＝CD，∴Rt△AEB≌Rt△CFD，∴BE＝DF.【思想方法】(1)平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分的性质，根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题；(2)平行四边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分．【中考变形】1．[2016·益阳]如图Z11－2，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE.求证：AF＝CE.证明： 四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD.又 AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB，AE∥CF.∴△AED≌△CFB(AAS)．∴AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE.2．[2016·黄冈]如图Z11－3，在▱ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G，H.求证：AG＝CH.图Z11－1图Z11－2图Z11－3证明： 四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH， E，F分别为AD，BC边的中点，∴AE＝DE＝AD，CF＝BF＝BC， AD＝BC，∴AE＝CF＝DE＝BF. DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AEG＝∠ADF，∴∠AEG＝∠CFH，在△AEG和△CFH中，∴△AEG≌△CFH(ASA)，∴AG＝CH.【中考预测】[2016·义乌模拟]如图Z11－4，已知E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE＝DF.(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若四边形AECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长．解：(1)证明： 四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC， BE＝DF，∴AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形；(2)如答图， 四边形AECF是菱形，∴AE＝EC，∴∠1＝∠2， ∠BAC＝90°，∴∠3＝90°－∠2，∠4＝90°－∠1，∴∠3＝∠4，∴AE＝BE，∴BE＝AE＝CE＝BC＝5.图Z11－4中考预测答图类型之二以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明【经典母题】如图Z11－5，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD.求菱形各个内角的度数．图Z11－5经典母题答图解：如答图，连结AC. 四边形ABCD是菱形，AE⊥BC，AF⊥CD且E，F分别为BC，CD的中点，∴AC＝AB＝AD＝BC＝CD，∴△ABC，△ACD均为等边三角形，∴菱形ABCD的四个内角度数分...
