教学目标1.了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2.掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．知识要点一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积．图示如下:表示小圆部分，表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合的并集的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求(意思是把的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题类、类与类元素个数的总和类元素的个数类元素个数类元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的元素个数同时是类、类、类的元素个数．用符号表示为：．图示如下：7-7-4.容斥原理之数论问题.题库教师版page1of61．先包含——重叠部分计算了次，多加了次；2．再排除——把多加了次的重叠部分减去．7-7-4容斥原理之数论问题CABACBBAC在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．例题精讲【例1】在的全部自然数中，不是的倍数也不是的倍数的数有多少个？AB【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】【解析】如图，用长方形表示的全部自然数，圆表示中的倍数，圆表示中的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是的倍数也不是的倍数的数．由可知，中的倍数有个；由可知，中的倍数有个；由可知，既是的倍数又是的倍数的数有个．由包含排除法，或的倍数有：(个)．从而不是的倍数也不是的倍数的数有(个)．【答案】【巩固】在自然数中，能被或中任一个整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】，，．根据包含排除法，能被或中任一个整除的数有(个)．【答案】【巩固】在前个自然数中，能被或整除的数有多少个？【考点】容斥原理之数论问题【难度】2星【题型】解答【解析】如图所示...
