第二讲证明不等式的基本方法2.3反证法与放缩法A级基础巩固一、选择题1．用反证法证明命题“如果a＞b，那么＞”时，假设的内容是()A.＝B.＜C.＝，且＜D.＝或＜解析：应假设≤，即＝或＜.答案：D2．实数a，b，c不全为0的等价命题为()A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D3．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数，下列假设中正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数解析：至少有一个是的否定为都不是．答案：B4．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于2解析：因为a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立，所以a，b，c三者中至少有一个不小于2.答案：C5．若不等式x2－2ax＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式at2＋2t－3＜1的解集为()A．(－3，1)B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)C．∅D．(0，1)解析：不等式x2－2ax＋＋a＞0对一切实数x∈R恒成立，则Δ＝(－2a)2－4a＜0，即a2－a＜0，解得0＜a＜1，所以不等式at2＋2t－3＜1转化为t2＋2t－3＞0，解得t＜－3或t＞1.答案：B二、填空题6．某同学准备用反证法证明如下一个问题，函数f(x)在0，1]上有意义，且f(0)＝f(1)，如果对于不同的x1，x2∈0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|＜|x1－x2|，求证：|f(x1)－f(x2)|＜，那么它的假设应该是________．答案：假设|f(x1)－f(x2)|≥7．lg9·lg11与1的大小关系是________．解析：因为＜＝＜＝1，所以lg9·lg11＜1.答案：lg9·lg11＜18．设a，b，c均为正数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR＞0”是“P，Q，R同时大于零”的________条件．解析：必要性是显然成立的；当PQR＞0时，若P，Q，R不同时大于零，则其中两个为负，一个为正，不妨设P＞0，Q＜0，R＜0，则Q＋R＝2c＜0，这与c＞0矛盾，即充分性也成立．答案：充要三、解答题9．已知x，y＞0，且x＋y＞2.求证：，中至少有一个小于2.证明：(反证法)设≥2，≥2，则由①②式可得2＋x＋y≥2(x＋y)，即x＋y≤2，与题设矛盾．所以，中至少有一个小于2.10．设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．证明：由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1....
