课时训练10等差数列前n项和的性质与应用一、等差数列前n项和性质的应用1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=2,S4=10,则S6等于()A.12B.18C.24D.42答案:C解析:S2,S4-S2,S6-S4成等差数列,即2,8,S6-10成等差数列,S6=24.2.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为()A.5B.4C.3D.2答案:C解析:由题意得S偶-S奇=5d=15,∴d=3.或由解方程组{5a1+20d=15,5a1+25d=30求得d=3,故选C.3.等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-2015,S20152015−S20132013=2,则S2015=()A.2015B.-2015C.0D.1答案:B解析:由等差数列前n项和性质可知,数列{Snn}是等差数列,设公差为d,则S20152015−S20132013=2d=2,所以d=1.所以S20152015=S11+2014d=-2015+2014=-1,所以S2015=-2015.二、等差数列前n项和中的最值问题4.设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题中错误的是()A.若d<0,则数列{Sn}有最大项B.若数列{Sn}有最大项,则d<0C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意n∈N*,均有Sn>0D.若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列答案:C解析:由等差数列的前n项和公式Sn=na1+12n(n-1)d=d2n2+(a1-d2)n知,Sn对应的二次函数有最大值时d<0.故若d<0,则Sn有最大值,A,B正确.又若对任意n∈N*,Sn>0,则a1>0,d>0,{Sn}必为递增数列,D正确.而对于C项,令Sn=n2-2n,则数列{Sn}递增,但S1=-1<0.C不正确.5.(2015河南南阳高二期中,10)已知数列{an}为等差数列,若a11a10<-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使得Sn>0的n的最大值为()A.21B.20C.19D.18答案:C解析:由a11a10<-1,可得a11+a10a10<0,由它们的前n项和Sn有最大值可得数列的公差d<0,∴a10>0,a11+a10<0,a11<0,∴a1+a19=2a10>0,a1+a20=a11+a10<0.∴使得Sn>0的n的最大值n=19.故选C.6.设数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,已知a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,则k的值为()A.22B.21C.20D.19答案:C解析:对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立,即Sk为Sn的最大值.因为a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,所以a4=33,a5=31,故公差d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n,则n=1时,a1=39,所以Sn=d2n2+(a1-d2)n=-n2+40n=-(n-20)2+400,即当n=20时Sn取得最大值,从而满足对任意n∈N*,都有Sn≤Sk成立的k的值为20.7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2014>0,S2015<0,则当n=时,Sn最大.答案:1007解析:由等差数列的性质知,S2015=2015a1008<0,所以a1008<0.又S2014=2014\(a1+a2014\)2=1007(a1007+a1008)>0,所以a1007+a1008>0,而a1008<0,故a1007>0.因此当n=1007时,Sn最...
