课时训练3解三角形的实际应用举例一、测量中的距离问题1.有一长为10m的斜坡,倾斜角为60°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是()A.5B.5√3C.10√3D.10答案:D解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,∠ACB=60°.∴AB=5√3,BC=5,在Rt△ABD中,∠ADB=30°,∴BD=15.∴CD=BD-BC=10.2.(2015福建宁德五校联考,14)一艘船以15km/h的速度向东航行,船在A处看到灯塔B在北偏东60°处;行驶4h后,船到达C处,看到灯塔B在北偏东15°处,这时船与灯塔的距离为km.答案:30√2解析:根据题意画出图形,如图所示,可得B=75°-30°=45°,在△ABC中,根据正弦定理得,ACsinB=BCsin∠BAC,即60√22=BC12,∴BC=30√2km,即此时船与灯塔的距离为30√2km.3.(2015福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20°,一条笔直公路AB,其中B在A城南偏东40°,B与C相距31千米.有一人从B出发沿公路向A城走去,走了20千米后到达D处,此时C,D之间的距离为21千米,则A,C之间的距离是千米.答案:24解析:由已知得CD=21,BC=31,BD=20,在△BCD中,由余弦定理得cos∠BDC=212+202-3122×21×20=-17.设∠ADC=α,则cosα=17,sinα=4√37.在△ACD中,由正弦定理,得AC=21sinαsin60°=24.二、测量中的高度与角度问题4.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是β,α(α<β),则A点距离地面的高度AB等于()A.asinαsinβsin\(β-α\)B.asinαsinβcos\(α-β\)C.asinαcosβsin\(β-α\)D.acosαsinβcos\(α-β\)答案:A解析:在△ACD中,∠DAC=β-α,DC=a,∠ADC=α,由正弦定理得AC=asinαsin\(β-α\),∴在Rt△ACB中,AB=ACsinβ=asinαsinβsin\(β-α\).5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15°的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10√6m(如图所示),则旗杆的高度为()A.10mB.30mC.10√3mD.10√6m答案:B解析:如图所示,由题意知∠AEC=45°,∠ACE=180°-60°-15°=105°,∴∠EAC=180°-45°-105°=30°,由正弦定理知CEsin∠EAC=ACsin∠CEA,∴AC=CE·sin∠CEAsin∠EAC=20√3(m),∴在Rt△ABC中,AB=AC·sin∠ACB=30(m).∴旗杆的高度为30m.6.当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10nmileC处的乙船,乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援,则sinθ的值等于()A.√217B.√22C.√32...
