课时达标检测（二十三）平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、选择题1．(山东高考)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝()A．2B.C．0D．－答案：B2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()A．4B．2C．8D．8答案：D3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A.B.C.D.答案：D4．(湖北高考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为()A.B.C．－D．－答案：A5．已知i与j为互相垂直的单位向量，a＝i－2j，b＝i＋λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是()A．(－∞，－2)∪B.C.∪D.答案：A二、填空题6．已知A(1,2)，B(3,4)，|n|＝，则|·n|的最大值为________．答案：47.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．答案：8．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．答案：∪∪三、解答题9．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，∴＝2，∴x2＋y2＝20.由c∥a和|c|＝2，可得解得或故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，∴cosθ＝＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.10．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．(1)当·取最小值时，求的坐标；(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，∴向量与共线，又＝(2,1)．∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，∴＝(1－2y,7－y)．同理＝－＝(5－2y,1－y)．于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．(2)当＝(4,2)，即y＝2时，有＝(－3,5)，＝(1，－1)，||＝，||＝，·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.cos∠AMB＝＝＝－.11．设平面向量a＝(cosα，sinα)(0≤α<2π)，b＝，且a与b不共线．(1)求证：向量a＋b与a－b垂直；(2)若两个向量a＋b与a－b的模相等，求角α.解：(1)证明：由题意知，a＋b＝，a－b＝，∵(a＋b)·(a－b)＝cos2α－＋sin2α－＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．(2)|a|＝1，|b|＝1，由题意知(a＋b)2＝(a－b)2，化简得a·b＝0，∴－cosα＋sinα＝0，∴tanα＝，又0≤α<2π，∴α＝或α＝.
