课堂10分钟达标1.直线y=2与抛物线y2=8x的公共点的个数为()A.0个B.1个C.2个D.无数个【解析】选B.直线y=2与抛物线y2=8x的对称轴平行,故直线与抛物线只有一个公共点.2.抛物线y2=4x上与焦点相距最近的点的坐标是()A.(0,0)B.(1,2)C.(2,1)D.以上都不是【解析】选A.抛物线上过焦点的弦中,通径最短,y2=4x的焦点为(1,0).令x=1代入y2=4x中得y=±2,抛物线上的点(1,2)或(1,-2)到焦点的距离为2,而顶点(0,0)到焦点的距离为1,所以抛物线y2=4x上与焦点相距最近的点的坐标是(0,0).3.过(1,1)作直线与抛物线y2=x只有一个公共点,这样的直线有()A.4条B.3条C.2条D.1条【解析】选C.由于点(1,1)在抛物线y2=x上,所以过点(1,1)作与抛物线只有一个公共点的直线,可作2条,一条是与抛物线对称轴平行的直线,另一条是与抛物线相切的直线.4.已知点P为抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A的坐标是,则|PA|+|PM|的最小值是________.【解析】抛物线y2=2x的焦点为F,点A在抛物线外部,显然P,A,F三点共线时,|PA|+|PM|有最小值,此时|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-=|FA|-=.答案:5.已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,设|FA|>|FB|,则=________.【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0),过F且斜率为1的直线方程为y=x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得x2-6x+1=0,求得x1=3+2,x2=3-2,故由抛物线的定义可得==3+2.答案:3+26.过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被Q所平分,求AB所在的直线方程.【解析】方法一:设以Q为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有=8x1,①=8x2,②因为Q(4,1)是AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=2.③①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).④将③代入④得y1-y2=4(x1-x2),即4=,所以AB所在直线的斜率k=4.所以所求弦AB所在的直线方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0.方法二:设弦AB所在直线方程为y=k(x-4)+1.由消去x,得ky2-8y-32k+8=0,此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标,由根与系数的关系和中点坐标公式,得y1+y2=,又y1+y2=2,所以k=4.所以所求弦AB所在的直线方程为4x-y-15=0.【补偿训练】已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值.(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.【解析】(1)因为直线l的倾斜角为60°,所以其斜率k=tan60°=.又F,所以直线l的方程为y=.联立消去y得x2-5x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=5,而|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p,所以|AB|=5+3=8.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+3,所以x1+x2=6,于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x=-,所以M到准线的距离为3+=.
