专题3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题（讲）-2016-2017学年高二数学同步精品课堂（提升版）（新人教A版必修五） Word版含解析.doc

☆学习目标☆ 1.能够求线性目标函数的最值，能利用目标函数的几何意义求最值；. 2.能够应用线性规划求实际问题的最大值和最小值。 ☆学习重点☆ 1.能够求线性目标函数的最值， 2.能够应用线性规划求实际问题的最大值和最小值。 ☆学习难点☆ 1.能利用目标函数的几何意义求最值；. 2.把实际问题转化为学习规划问题。 ☆基础回扣☆ 一、二元一次不等式的有关概念 1、二元一次不等式： 我们把只含有_____未知数，并且未知数的最高次数是__的不等式，称为二元一次不等式. 二元一次不等式的一般表达式为： . 2、二元一次不等式组：由 组成的不等式组，称为二元一次不等式组. 3、二元一次不等式的解集：满足二元一次不等式的x和y的取值构成 ,所有 这样的 构成的集合称为二元一次不等式的解集. 二、二元一次不等式表示的平面区域 1、在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线__________某一侧所有点组成的平面区域. 2、把直线画成_____，以表示区域不包括边界.不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界，把边界画成_____. 三、二元一次不等式表示的平面区域的确定 1、对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C，所得的符号都____. 2、在直线Ax+By+C=0的一侧取某个特殊点(x0,y0)，由_________的符号可以断定Ax+By+C>0表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域. ☆自学题纲☆ 阅读必修五p87—91页的内容，完成学案中问题。 一、线性规划的相关概念 不等式 一次不等式 线性约束条件 可行解 最大值或最小值 线性约束 试一试：根据如下线性规划问题及其解法，思考下列问题： 问题：设z=2x+y,且x,y满足下列条件, 求它的最值. 【分析】首先画出不等式组形成的区域，由图1知，（0,0）不在区域内.当x=0,y=0 时，z=2x+y=0 上.作一组平行线2x+y=0,点（0,0）在直线2x+y=0上.作一组平行线2x+y=t, t是直线2x+y=t的纵截距，这里A(1，1),B（5，2）.显然当直线2x+y=t过A点时，t为最小，过B点时，t为最大。Zmax=12,zmin=3.显然，求z=2x+y的最值，转化为求直线的纵截距的最值。 1.在此题中线性约束条件是_______，目标函数是_______. 2.目标函数z=2x+y中z的几何意义是什么？ 3.使线性目标函数z=2x+y取得最值的最优解是什么？ 提示：由解析过程可知，当直线2x+y=t过A点时，t最小，过B点时t最大，故最优解是(1，1)和(5，2). ☆问题探讨与解题研究☆ 类型一 求线性目标函数的最值 【例1】画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题： (1)指出x，y的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？ 审题视点] (1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界． (2)整点是指横、纵坐标均为整数的点． 解　(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合．x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合． 所以，不等式组 表示的平面区域如图所示． 结合图中可行域得x∈，y∈－3,8]． (2)由图形及不等式组知 当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点； 当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点； 当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点； 当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点； 当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点； 当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点； ∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42个． (1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． (2)在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x＝m逐条分段统计． 2.设变量x,y的线性约束条件为，求目标函数z=x+y的最大值. 2.作出可行域如图3阴影部分所示，作直线l:x+y=0，平移直线l，当其过A(1，1)时，z=x+y取得最大值，将A点的坐标代入得. 【练习】设变量x,y满足约束条件 ,则目标函数z=2x+3y+1的最大值为( ) (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 【小结1】解线性规划问题的步骤： 画：画出线性约束条件所表示的可行域；移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，用平移的方法找出与可行域的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；求：通过解方程组求出最优解；答：得出答案。 【小结2】如何确定线性规划问题中的最优解？ 线性目标函数z=Ax+By+C(A,B不全为0)中，当B≠0时，,这样线性目标函数可看成斜率为,在y轴上的截距为且随z变化的一组平行线，则把求z的最大值或最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值的问题.因此只需先作出直线,再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解. 类型二 求非线性目标函数的最值 【例1】已知, 求：(1)的最小值；(2) 的取值范围. 【练习】实数x,y满足不等式组，则的最小值为_____。 【小结】与线性规划有关的两种最值的求法 (1)形如的最值:应转化为可行域内的点(x,y)与点(a,b)连线的斜率的最值. (2)形如的最值:转化成可行域内的点(x,y)与点(a,b)两点间距离的平方的最值. 类型三 已知目标函数的最值求参数 例1、 已知变量x，y满足条件若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是________． 解析　画出x、y满足条件的可行域如图所示， 要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a＜－，∴a＞. 【练习】 已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为________． 解析　其中平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx－y＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．平面区域如图所示， 根据区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程kx－y＋2＝0，得k＝1. 【小结】已知函数最值求参数取值(或范围)的解题思路 采用数形结合，画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数等于最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，求出最优解之后，再把它代入含有参数的约束条件，即可求出参数. 类型四 线性规划中最优整数解问题 例1.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝________元． 解析　设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，获得的利润为z元，z＝450x＋350y，由题意，x、y满足关系式 作出相应的平面区域，z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，在由确定的交点(7,5)处取得最大值4 900元． 【练习】某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种每袋35千克，价格为140元；另一种每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费多少元？ 【小结】求线性规划中最优整数解的三种方法 (1)平移直线法：先在可行域内打网格，再描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标便是整点最优解. (2)筛选优值法：当可行域内整点个数较少时，也可将整点坐标逐一代入目标函数求值，经比较得最优解. (3)调整最优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出最优解. ☆课堂检测☆ 1.已知变量x,y满足条件，设z=2x+y，取点(3,2)可求得z=8，取点(5,2)可求得,取点(1，1)可求得,取点(0，0)可求得z=0，点(3，2)叫做_______，点(0，0)叫做_______，点(5，2)和点(1，1)均叫做_______. 2.若变量x,y满足约束条件，则z=x-2y的最大值为 ( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 3. 已知变量x,y满足关系式， 则的最大值是_____. 4.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次，则该厂所需要的最少运输费用为( ) (A)2 000元 (B)2 200元 (C)2 400元 (D)2 800元 5. 已知变量x,y满足约束条件，若目标函数z=ax+y(a＞0)仅在点(3，1)处取得最大值，求a的取值范围. 四、课堂小结 1、解线性规划问题的步骤:画——移——求——答； 2、与线性规划有关的两种最值的求法：斜率公式、两点 间距离公式； 3、求线性规划中最优整数解的三种方法： 平移直线法、.筛选优值法、.调整最优值法. 五、课后作业 1.课本p104页复习参考题B组4、5。