选修2－2第一章导数及其应用1．1变化率与导数1．1.1变化率问题考点一：求函数的平均变化率1、求y＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率．[解析]当自变量从x0变到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝＋1＝4x0＋2Δx.已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化率．(1)a＝1，b＝2；(2)a＝3，b＝3.1；(3)a＝－2，b＝1.5.[解析](1)a＝1，b＝2时，f(1)＝12＋2×1＝3，f(2)＝22＋2×2＝8，∴f(x)从1到2的平均变化率为＝＝5.(2)a＝3，b＝3.1时，f(3)＝32＋2×3＝15，f(3.1)＝3.12＋2×3.1＝15.81，∴f(x)从3到3.1的平均变化率为＝＝8.1.(3)a＝－2，b＝1.5时，f(－2)＝(－2)2＋2×(－2)＝0，f(1.5)＝1.52＋2×1.5＝5.25，∴f(x)从－2到1.5的平均变化率为＝＝.2、求函数y＝x3在x0到x0＋Δx之间的平均变化率，并计算当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．[解析]当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化率为＝0＝3x＋3x0Δx＋(Δx)2当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值为3×12＋3×1×＋2＝.3、过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．[解析]∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，∴割线PQ的斜率k＝＝＝(Δx)2＋3Δx＋3.设Δx＝0.1时割线的斜率为k1，则k1＝0.12＋3×0.1＋3＝3.31.考点二：平均变化率的应用1、试比较正弦函数y＝sinx在x＝0和x＝附近的平均变化率哪一个大？[解析]当自变量x从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1＝＝.当自变量x从变到＋Δx时，函数的平均变化率为k2＝2＝.由于是在x＝0和x＝的附近的平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负．当Δx＞0时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2；当Δx＜0时，k1－k2＝－＝＝.∵Δx＜0，∴Δx－＜－，∴sin＜－.从而有sin＜－1，则sin＋1＜0，又∵Δx<0，∴k1－k2＞0，即k1＞k2.2、已知函数y＝f(x)＝3x2＋2，求函数在x0＝1,2,3附近Δx取时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小．[解析]函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＋2＝＝6x0＋3Δx.函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0＋3Δx.当x0＝1，Δx＝时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1＝6×1＋3×0.5＝7.5；当x0＝2，Δx＝时，函数在[2,2.5]上的平均变化率k2＝6×2＋3×0.5＝13.5；当x0＝3，Δx＝时，函数在[3,3.5]上的平均变化率为k3＝6×3＋3×0.5＝19.5，所以k1
