2.3数学归纳法考点一：数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式1.证明：＋＋…＋＝.(n∈N*)[证明](1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立．(2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝.所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)、(2)可知，对一切n∈N*等式都成立．2.n∈N*，求证：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.[证明](1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝＝.左边＝右边．(2)假设n＝k时等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，则当n＝k＋1时，＋＝＋＝＋＋…＋＋.即当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)、(2)可知，对一切n∈N*，等式成立.考点二：用数学归纳法证明不等式1.用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2)．[证明]1°当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．2°假设n＝k时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－命题成立．由1°、2°知原不等式在n≥2时均成立．2.求证：1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N*)．[证明]设f(n)＝1＋＋＋…＋.(1)当n＝1时，f(1)＝1＋，原不等式成立．(2)设n＝k(k∈N*)时，原不等式成立．即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k成立当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋＋＋…＋≥1＋＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋＝1＋＋＝1＋f(k＋1)＝f(k)＋＋＋…＋≤＋k＋＋＋…＋<＋k＋＋＋…＋＝＋(k＋1)∴n＝k＋1时，命题成立．综合(1)、(2)可得：原命题对n∈N*恒成立.考点三：用数学归纳法证明整除问题1.求证：an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*，a∈R.[证明](1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设知，上式能被a2＋a＋1整除，故当n＝k＋1时命题也成立．由(1)，(2)知，对一切n∈N*，命题都成立．2.求证：当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除．[证明](1)显然，当n＝1时，命题成立，即x1＋y1能被x＋y整除．(2)假设当n＝2k－1(k∈N*)时命题成立，即(x＋y)能整除x2k－1＋y2k－1则当n＝2k＋1时，x2k＋1＋y2k＋1＝x2x2k－1＋x2y2k－1－x2y2k－1＋y2y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)－(x＋y)(x－y)y2k－1 x＋y能整除(x2k－1＋y2k－1)又x＋y能整除(x＋y)(x－y)y2k－1∴(x＋y)能整...
