2019年湖北襄阳中考数学试题（解析版）【jiaoyupan.com教育盘】.doc

{来源}2019年湖北襄阳中考数学试卷 {适用范围:3． 九年级} {标题}2019年湖北省襄阳市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 {题型:1-选择题}一、选择题：本大题共 小题，每小题 分，合计分． {题目}1．（2019年湖北襄阳T1）计算|－3|的结果是(　　) A．3 B. C．－3 D．±3 {答案}A {解析}本题考查绝对值的概念.=3，本题选A. {分值}3 {章节:[1-1-2-4]绝对值} {考点:绝对值的性质} {类别:常考题} {难度:1-最简单} {题目}2．（2019年湖北襄阳T2）下列运算正确的是(　　) A．a3－a2＝a B．a2·a3＝a6 C．a6÷a2＝a3 D．(a2)－3＝a－6 {答案}D {解析}本题考查幂的运算.选项A非同类项，作差无法合并；选项B同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为a5；选项C同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为a4；选项D幂的乘方，底数不变，指数相乘，正确.因此本题选D． {分值}3 {章节:[1-15-2-3]整数指数幂} ;{考点:同底数幂的乘法} {考点:幂的乘方} {考点:同底数幂的除法} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}3．（2019年湖北襄阳T3）如图，直线BC∥AE，CD⊥AB于点D，若∠BCD＝40°，则∠1的度数是(　　) A．60° B．50° C．40° D．30° {答案}B {解析}本题考查平行线的性质和直角三角形的性质.∵CD⊥AB ∴∠BDC=90°，又∠BCD=40°，∴∠ABC=50°，∵BC∥AE ∴∠1=∠ABC=50°，选项B正确. {分值}3 {章节:[1-5-3]平行线的性质} {考点:两直线平行内错角相等} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}4．（2019年湖北襄阳T4）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是(　　) A．青 B．来 C．斗 D．奋 {答案}D {解析}本题考查立体图形展开图.将其还原成一正方形，可得“青”与“来”相对；“春”与“奋”相对；“用”与“斗”相对.选项D正确. {分值}3 {章节:[1-4-1-2]点、线、面、体} {考点:几何体的展开图} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}5．（2019年湖北襄阳T5）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　) ,A) ,B) ,C) ,D) {答案}B {解析}本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义.A是轴对称图形；B既是轴对称图形，也是中心对称图形；C是中心对称图形，D是中心对称图形.选项B正确． {分值}3 {章节:[1-23-2-2]中心对称图形} {考点:中心对称图形} {考点:轴对称图形} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}6．（2019年湖北襄阳T6）不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是(　　) ,A) ,B) ,C) ,D) {答案}C {解析}本题考查不等式组的解法以及在数轴上的表示.解第一个不等式得x<4，解第二个不等式得x≤-3，同小取小，解集为x≤-3.选项C正确． {分值}3 {章节:[1-9-3]一元一次不等式组 {考点:解一元一次不等式组} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}7．（2019年湖北襄阳T7）如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是(　　) A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 {答案}D {解析}本题考查尺规作图以及菱形的判定.由作图可知，半径相等，可知AC=AD=BC=BD，四条边相等的四边形是菱形.选项D正确． {分值}3 {章节:[1-18-2-2]菱形} {考点:菱形的判定} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}8．（2019年湖北襄阳T8）下列说法错误的是(　　) A．必然事件发生的概率是1 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C．概率很小的眾件不可能发生 D．投一枚图钉，“钌尖朝上”的概率不能用列举法求得 {答案}C {解析}本题考查必然事件和不可能事件的概念，以及大量重复试验下，用频率估计概率.必然事件是一定会发生的事件，因而概率为1，选项A正确；通过大量重复试验，可以将频率近似地当作概率，选项B正确；概率很小不能说明不会发生，只是发生的机率比较小，选项C错误；掷一枚图钉，“图钉向上”的概率近似是大量重复试验发生的频率，不能用列举法求得，选项D正确． {分值}3 {章节:[1-25-1-2]概率} {考点:概率的意义} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}9．（2019年湖北襄阳T9）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是(　　) A．5x－45＝7x－3 B．5x＋45＝7x＋3 C.＝ D.＝ {答案}B {解析}本题考查一元一次方程的应用.本题抓住两次人数不同，但羊价不变的等量关系来列方程.人数为x人，“每人出5钱，会差45钱”说明羊价为5x+45，“每人出3钱，会差3钱”说明羊价为3x+3.根据羊价不变，列出方程：5x+45=3x+3，选项B正确． {分值}3 {章节:[1-3-3]实际问题与一元一次方程} {考点:一元一次方程的应用（盈不足问题）} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}10．（2019年湖北襄阳T10）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是(　　) A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB {答案}A {解析}本题考查了“直径所对的圆周角是直角”，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形中位线等知识.∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∵四边形OBCD是平行四边形，∴CD∥OB，CD=OB，∴∠CPO=90°，即OB⊥AC，选项C正确；又∵O是AD的中点，∴OP是△ACD的中位线，∴CD=2OP，∴选项B正确；∴CD=OB=2OP， 即P是OB的中点，∴AC平分OB，选项D正确；AP与OP数量关系无从得出，选项A错误． {分值}3 {章节:[1-24-1-2]垂直于弦的直径} {考点:直径所对的圆周角} {考点:平行四边形角的性质} {类别:常考题} {难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度} {题型:2-填空题}二、填空题：本大题共 小题，每小题 分，合计分． {题目}11．（2019年湖北襄阳T11）习总书记指出，善于学习，就是善于进步．“学习强国”平台上线后的某天，全国大约有1.2亿人在平台上学习.1.2亿这个数用科学记数法表示为________． {答案}1.2×108 {解析}本题考查了科学记数法.1.2亿可写成120000000，因而写成科学记数法为1.2×108． {分值}3 {章节:[1-1-5-2]科学计数法} {考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:2-简单} {题目}12．（2019年湖北襄阳T12）定义：a*b＝，则方程2*(x＋3)＝1*(2x)的解为________． {答案}x=1 {解析}本题考查了可化为一元一次的分式方程的解法.按新定义可知：，，可得方程，解得x=1，经检验此解为方程的根． {分值}3 {章节:[1-15-3]分式方程} {考点:解含两个分式的分式方程} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}13．（2019年湖北襄阳T13）从2，3，4，6中随机选取两个数记作a和b(a<b)，那么点(a，b)在直线y＝2x上的概率是________． {答案} {解析}本题考查了概率的计算.从2，3，4，6中任选两个数记作a和b(a<b)共有6种可能：（2，3）（2，4）（2，6）（3，4）（3，6）（4，6），点(a,b)在直线y=2x上的有2种可能：（2，4）（3，6），因而概率为． {分值}3 {章节:[1-25-2]用列举法求概率} {考点:两步事件不放回} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}14．（2019年湖北襄阳T14）如图，已∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是________(只填序号)． {答案}② {解析}本题考查了全等三角形的判定方法.已知∠ABC=∠DCB，图中有公共边BC=CB，因而添加①∠A=∠D可用AAS证明全等，添加③可用SAS证明全等，添加②就变成了“边边角”，不能确定全等． {分值}3 {章节:[1-12-2]三角形全等的判定} {考点:全等三角形的判定SSS} {考点:全等三角形的判定SAS} {考点:全等三角形的判定ASA,AAS} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}15．（2019年湖北襄阳T15）如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞山到落地所用的时间为________s. {答案}4 {解析}本题考查了二次函数的实际运用.球开始和落地时，都说明h=0，则20t-5t2=0，解得t1=0，t2=4，因而小球从飞出到落地的时间为4-0=4秒． {分值}3 {章节:[1-22-3]实际问题与二次函数} {考点:足球运动轨迹问题} {类别:常考题} {难度:3-中等难度} {题目}16．（2019年湖北襄阳T16）如图，两个火小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于点C，点D在AB上，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC与DE交于点F，连接AE，若BD＝1，AD＝5，则＝________. {答案}3 {解析}本题考查了，，因此本题选． {分值}3 {章节:[1-27-1-1]相似三角形的判定} {考点:相似多边形的性质} {考点:相似三角形的判定（两边夹角）} {考点:相似三角形的判定（两角相等）} {类别:常考题} {难度:4-较高难度} {题型:4-解答题}三、解答题：本大题共 小题，合计分． {题目}17．（2019年湖北襄阳T17）先化简，再求值：＋，其中x＝－1. {解析}本题考查分式的混合运算，解题的关键是把分式的除法转化为分式的乘法 先把括号内进行化简，再把分式的分子分母进行因式分解，然后将分式的除法转化为分式的乘法，最后约分化成最简分式. {答案}解： 原式= 当时，上式= {分值}6 {章节:[1-15-2-2]分式的加减} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:分式的混合运算} {题目}18．（2019年湖北襄阳T18）今年是中华人民共和国建国70周年，襄阳市某学校开展了“我和我的祖闻”主题学习竞赛活动．学校3000名学生全部参加了竞赛，结果所有学生成缋都不低于60分(满分100分)．为了了解成绩分布情况，学校随机抽取了部分学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计表．根据表中所给信息，解答下列问题： 成绩x(分)分组 频数 频率 60≤x＜70 15 0.30 70≤x＜80 a 0.40 80≤x＜90 10 b 90≤x≤100 5 0.10 (1)表中a＝________，b＝________； (2)这组数据的中位数落在________范围内； (3)判断：这组数据的众数一定落在70≤x<80范围内．这个说法________(填“正确”或“错误”)； (4)这组数据用扇形统计图表示，成缋在80≤x<90范围内的扇形圆心角的大小为________； (5)若成绩不小于80分为优秀，则全校大约有________名学生获得优秀成绩． {解析}本题考查了统计中的频数与频率的关系，中位数与众数，扇形统计图，用样本去估计总体.． {答案}解：（1）20；0.20 由第一组频数为15，频率为0.30，可得出样本容量为15÷0.30=50，∴a=50×0.40=20 b=10÷50=0.2. （2）70≤x<80 中位数是指数据排序后处在最中间的一个数或是最中间两个数的平均数.样本容量为50，因而中位数是排序后第25个数据和第26个数据的平均数，第一分组为15个，第二分数为a=20个，因而第25个数据和第26个数据都在第二分组里，所以中位数仍在第二分组里，即70≤x<80 （3） 错误 虽然在70≤x<80范围内的频数最多，但不一定是相同数据，同样，在其它范围内的频数虽然不是最多，但不一定不是相同数据，因而不能确定众数一定在70≤x<80范围内. （4）72° 80≤x<90范围的频率为b=0.2，则扇形圆心角的度数为360°×0.2=72°. （5）900 不小于80分的频率为b+0.1=0.3，全校大约有3000×0.3=900名学生获得优秀成绩. {分值}6 {章节:[1-20-1-2]中位数和众数} {难度:2-简单} {类别:常考题} {考点:数据分析综合题} {题目}19．（2019年湖北襄阳T19）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)16 m，宽(AB)9 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112 m2，则小路的宽应为多少？ {解析}本题考查了一元二次方程关于图形面积方面的实际应用.本题的关键是如何表示出草坪部分的面积． {答案}解：设小路的宽应为x m，由题意可得方程为：(16-2x)(9-x)=112， 解得：x1=1，x2=16，又x2=16>9，不合题意，舍去， ∴x=1 答：小路的宽应为1m. {分值}6 {章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:一元二次方程的应用—面积问题} {题目}20．（2019年湖北襄阳T20）襄阳卧龙大桥横跨汉江，足我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分(上塔柱BC和塔冠BE)进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端C的距离为121 m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5 m，在D处测得塔冠顶端E的仰角为45°.请你求出塔冠BE的高度(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，≈1.41) . {解析}本题考查了解直角三角形的实际应用.关键是明白题目中的数据对应的线段长度和角度，以及找出所求线段所在的关系.本题先求出BC的长度，再求出EC，EC与BC的差即为所求. {答案}解： 在Rt△ACB中，AC=121m，∠A=37°， ∴,∴BC≈90.75m 由题知AD=23.5m，∴CD=AC-AD=97.5m 在Rt△DCE中，∠EDC=45°， ∴，∴EC=97.5m ∴BE=EC-BC=97.5-90.75=6.75≈6.8m 答：塔冠BE的高度约为6.8m. {分值}6 {章节:[1-28-1-2]解直角三角形} {难度:3-中等难度} {类别:常考题} {考点:解直角三角形} {题目}21．（2019年湖北襄阳T21）如图，已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝的图象在第一、第三象限分别交于A(3，4)，B(a，－2)两点，直线AB与y轴，x轴分别交于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)比较大小：AD______BC(填“>”或“<”或“＝”)； (3)直接写出y1<y2时x的取值范围． {解析}本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质，待宝系数法，两点间距离公式；以及不等式的图象解法． （1）由A在反比例函数图象上，可确定反比例函数解析式，B也在其函数图象上，可由解析式确定B点坐标，由A、B两点也在一次函数图象上，可求出一次函数解析式. （2）由直线解析式可得出与x 轴，y轴交点坐标，再利用距离公式，可分别计算出AD和BC的长度，得出大小关系. （3）不等式的图象解法的运用.首先看“=”，即二者交点处.再由y1<y2，说明直线y1双曲线y2的下方.要注意的是反比例函数中x ≠0，因而分两段. {答案}解： （1）将A（3，4）代入中，可得m=12，∴ 将B（a，-2）代入中，可得a=-6，∴B（-6，-2） 将A（3，4），B（-6，-2）分别代入y1=kx+b中，可得 解得，∴ ∴, （2）= ∵C，D是与y轴,x轴的交点，∴C（0，2），D（-3，0） ∴AD=，BC=，∴AD=BC （3）x<-6或0<x<3 已知直线与双曲线相交于A、B两点，通过观察，可得当x<-6或0<x<3时直线y1双曲线y2的下方，即当x<-6或0<x<3时y1<y2. {分值}7 {章节:[1-26-1]反比例函数的图像和性质} {难度:4-较高难度} {类别:常考题} {考点:反比例函数与一次函数的综合} {题目}22．（2019年湖北襄阳T22）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC. (1)求证：DG是⊙O的切线； (2)若DE＝6，BC＝6，求优弧的长． {解析}本题考查了三角形的内心，外接圆，垂径定理及推论，平行线的性质，圆的切线的判定，圆周角的性质，三角形外角的性质，三角函数，弧长计算公式 （1）要证DG是⊙O的切线，需证OD⊥BC.而内心是指角平分线的交点，得出两圆周角相等，进而所对的劣弧相等，再根据垂径定理的推论可得出OD⊥BC. （2）求优弧的长，需求优弧所对圆心角的度数.将DE转化成DC，再根据垂径定理，计算出半径，并推导出优弧BAC所对圆心角度数，根据弧长公式求解. {答案}解： （1）证明：连接OD ∵E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD ∴弧BD=弧CD ∴OD⊥BC ∵DG∥BC ∴OD⊥DG， 又D在⊙O上 ∴DG是⊙O的切线. （2）连接CE、CD、OB、OC、OD交BC于F ∵E是内心，∴∠ACE=∠BCE，∠BAD=∠CAD 又∠BAD=∠BCD，∴∠BCD=∠CAD ∴∠DEC=∠CAD+∠ACE=∠BCD+∠BCE=∠ECD ∴CD=DE=6 由（1）可知OD⊥BC，∴CF=FB= 在Rt△CDF中，sin∠FDC= ∴∠FDC=60° 又OD=OC，∴△OCD是等边三角形 ∴半径OC=OD=CD=6，∠BOC=120° ∴优弧BAC所对圆心角为240° ∴优弧BAC的弧长为 {分值}8 {章节:[1-24-4]弧长和扇形面积} {难度:4-较高难度} {类别:常考题} {考点:切线的判定} {考点:弧长的计算} {题目}23．（2019年湖北襄阳T23）襄阳市某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜．某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调査，这两种蔬菜的进价和售价如下表所示： 有机蔬菜种类 进价(元/kg) 售价(元/kg) 甲 m 16 乙 n 18 (1)该超市购进甲种蔬菜10 kg和乙种蔬菜5 kg需要170元：购进甲种蔬菜6 kg和乙种蔬菜10 kg滞要200元．求m，n的值； (2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100 kg进行销售，其中甲种蔬菜的数量不少于20 kg，且不大于70 kg.实际销售时，由于多种因素的影响，甲种蔬菜超过60 kg的部分，当天需耍打5折才能售完，乙种蔬菜能按售价卖完．求超市当天售完这两种蔬菜获得的利润额y(元)与购进甲种蔬菜的数x(kg)之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)在(2)的条件下，超市在获得的利润额y(元)取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的盈利率不低于20%，求a的最大值． {解析}本题考查了二元一次方程组的实际运用，分段函数，一次函数的性质，一元一次不等式的应用 （1）两句话可得到关于m和n的两个等式，联立方程组求解. （2）由甲种蔬菜的两种不同售价，可得出超市当天的利润额y与x之间的分段函数关系式 （3）根据一次函数的性质，可求出y的最大值，再根据题意，列出不等式，求解，得出最大值 {答案}解： (1)由题可得，解得 （2）购进甲种蔬莱x（kg），则甲种蔬菜的售价（元/kg）为： 则甲种蔬菜的利润为 （元） 乙种蔬菜100-x（kg），乙种蔬菜的利润为（18-14）（100-x）=400-4x （元） ∴超市当天售完这两种蔬案获得的利润额（元）为 （3）当20≤x≤60时，y=2x+400≤2×60+400=520，当60<x≤70时，y=880-6x<880-6×60=520, ∴当x=60时，y取得最大值520元. 则甲种蔬菜共捐出2a·60=120a元，乙种蔬菜共捐出(100-60)a·=40a元. 由题意“捐款后的盈利率不低于20%”，可得 解得a≤1.8，即a的最大值为1.8. {分值}10 {章节:[1-19-2-2]一次函数} {难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度}{难度:6-竞赛题} {类别:常考题}{类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:易错题}{类别:新定义} {考点:分段函数的应用} {考点:简单的列二元一次方程组应用题} {题目}24．（2019年湖北襄阳T24）(1)证明推断：如图①，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF±AE. ①求证：DQ＝AE； ②推断：的值为________； (2)类比探究：如图②，在矩形ABCD中，＝k(k为常数)．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：在(2)的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长． {解析}本题考查了本题考查了正方形的性质，垂直的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定，平行四边形的判定，平行线的判定，相似三角形的判定 （1）①证线段相等，即证线段所在的三角形全等. （1）②可推出四边形DGFQ是平行四边形，则GF=DQ=AE. （2）将GF与AE分别放入两个直角三角形中作为斜边，可证得这两个三角形相似.由于是矩形，长与宽之间有比例关系，因而斜边之比即等于对应直角边之比. （3）过P作PN⊥BC，垂足为N，利用折叠的性质三角函数的性质以及勾股定理来进行计算. {答案}解： （1）①证明：∵正方形ABCD，∴AD=AB，∠QAD=∠B=90° ∵DQ⊥AE于点O，∴∠QAO+∠AQO=90° ∵∠QAO+∠E=180°-∠B=90° ∴∠AQO=∠E ∴在△ABE和△DAQ中 ∴△ABE≌△DAQ（AAS） ∴DQ=AE ② 解析：∵DQ⊥AE，GF⊥AE ∴DQ∥GF ∵正方形ABCD ∴AB∥CD ∴四边形DGFQ是平行四边形 ∴DQ=GF 由①DQ=AE，∴GF=AE ∴ （2）GF=kAE 过G作GM⊥AB，垂足为M，∴∠FMG=90°， 由四边形ABCD是矩形，可得GM=BC，∠B=90°， ∵FG是折痕，A折叠后与E重合 ∴AE⊥FG ∴∠BAE+∠AFG=90° 又∠BAE+∠AEB=180°-∠B=90° ∴∠AFG=∠AEB 又∠GMF=∠B=90° ∴△GMF∽△ABE 即GF=kAE （3）过P作PN⊥BC，垂足为N ∵折叠及矩形ABCD，∴∠GPE=∠ADG=∠FAD=∠FEP=∠BCD=∠B=90° ∴∠CGP=90°-∠GHP=90°-∠EHC=∠HEC=90°-∠FEB=∠BFE ， 设BE=3x，则BF=4x，EF=5x=AF， ∴AB=AF+FB=9x，∴AE ， ∴x=1，BC=6=AD=EP，BE=3，EF=5，AB=9， ∴EC=BC-BE=3 在Rt△EPN中，sin∠PEN=sin∠BFE=，cos∠PEN=cos∠BFE= ∴ 解得∴CN=EN-EC=∴在Rt△CPN中， {分值}10 {章节:[1-21-4]实际问题与一元二次方程} {难度:1-最简单}{难度:2-简单}{难度:3-中等难度}{难度:4-较高难度}{难度:5-高难度}{难度:6-竞赛题} {类别:常考题}{类别:思想方法}{类别:数学文化}{类别:北京作图}{类别:高度原创}{类别:发现探究}{类别:易错题}{类别:新定义} {考点:正方形的性质} {考点:折叠问题} {考点:正弦} {考点:余弦} {考点:正切} {题目}25．（2019年湖北襄阳T25）如图，在直角坐标系中，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC. (1)直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式； (2)已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最小时，求点P的坐标； (3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外)，使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABCC相似？若存在，求出点Q坐标；若不存在，请说明理由． {解析}本题考查了一次函数的性质，待定系数法求二次解析式，两直线平行时k相等，相似三角形等知识点。 （1） B、C是直线与x轴，y轴的交点，分别令y=0，x=0可求出.又A是点B关于直线x=1的对称点，即A与B的中点是1.可得出A点坐标，再用待定系数法求出二次函数解析式. （2） 点在抛物线上且与直线BC距离最大，说明此时过点的直线与BC平行，即求平行于BC的直线与抛物线仅有一个交点，此交点即为点P. （3） 由△QAB与△ABC相似的对应关系不确定，进行分类讨论，根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例画出相应图形，再根据相似三角形的对应边成比例进行验证. {答案}解：(1)A（-4，0），B(6,0)，C（0，3）， 对于，令x=0，可得y=3,∴C（0，3）；令y=0,可得x=6，∴B(6,0) A与B关于直线x=1对称，∴A（-4，0） 可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-6)，将C（0，3）代入，解得 （2）∵, 设平行于BC的直线的解析式为：， 由题意P在抛物线上且到BC距离最大，即直线与抛物线有且仅有一个交点P，联立解得 （3）∵A（-4，0），B(6,0)，C（0，3），∴AB=10,AC=5,BC=. ①如图1，若公共边AB为对应边，则此时两三角形全等，显然C点关于x=1对称点即为Q1， Q1(2,3) 。 x y Q 图 2 B A C O ②如图2，若BC与AB对应，点C关于x轴的对称点为C1（0，-3），直线BC1为：，将直线与抛物线联立，解得：，Q（-8，-7）。又∵A（-4，0），B(6,0)， ∴AB＝10，AQ＝，BQ=.此时△ABC与△ABQ三边不成比例，两三角形不相似。 ③如图3，若AC与AB对应，点C关于x轴的对称点为C1（0，-3），直线AC1为：，将直线与抛物线联立，解得：，即Q2（12，-12）。又∵A（-4，0），B(6,0)， ∴AB＝10，AQ＝20，BQ=.此时△ABC与△ABQ三边成比例，两三角形相似。点Q2（12，-12）关于直线x＝1的对称点也可，∴Q3（-10，-12） 综上，Q的坐标为(2,3)或（12，-12）或（-10，-12）。 {分值}13 {章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质} {难度:5-高难度} {类别:常考题} {考点:二次函数中讨论相似} {考点:最短路线问题}