2016届九年级下学期开学考试数学试卷【解析版】2.doc

2016届九年级下学期开学考试数学试卷 　 一、选择题（本大题满分42分，每小题3分） 1．﹣3的倒数是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 2．已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（　　） A．21×10﹣4千克 B．2.1×10﹣6千克 C．2.1×10﹣5千克 D．2.1×10﹣4千克 3．分式方程的解为（　　） A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4 4．今年体育学业考试增加了跳绳测试项目，下面是测试时记录员记录的一组（10名）同学的测试成绩（单位：个/分钟）． 176 180 184 180 170 176 172 164 186 180 该组数据的众数、中位数、平均数分别为（　　） A．180，180，178 B．180，178，178 C．180，178，176.8 D．178，180，176.8 5．如图是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方体的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　） A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50° 7．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 8．下列各因式分解正确的是（　　） A．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2 D．x2﹣4x=x（x+2）（x﹣2） 9．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1） 10．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣ 11．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（　　） A．π B．1 C．2 D． 12．该试题已被管理员删除 13．一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．x＞1 D．﹣2＜x＜1 14．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 　 二、填空题（本大题满分16分，每小题4分） 15．从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是　　　　　　． 16．函数中，自变量x的取值范围是　　　　　　． 17．如图，AC与BD交于P，AD、BC延长交于点E，∠AEC=37°，∠CAE=31°，则∠APB的度数为　　　　　　． 18．如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于　　　　　　cm． 　 三、解答题（本大题满分62分） 19．化简与计算 （1）（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|． （2）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2），其中a=﹣3． 20．为了解某中学2016届九年级学生2016届中考体育成绩情况，现从中抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50分、B：49～40分、C：39～30分、D：29～0分）统计，统计结果如图所示． 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）本次抽查了多少名学生的体育成绩； （2）补全图9.1，求图9.2中D分数段所占的百分比； （3）已知该校2016届九年级共有900名学生，请估计该校2016届九年级学生体育成绩达到40分以上的人数． 21．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶． （1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？ 22．如图，某校2016届九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60度．请你帮助他们计算出小山的高度BC．（计算过程和结果都不取近似值） 23．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG；EG⊥CG． （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 24．如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图] （1）k=　　　　　　，点A的坐标为　　　　　　，点B的坐标为　　　　　　； （2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形． 　 2016届九年级下学期开学考试数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题满分42分，每小题3分） 1．﹣3的倒数是（　　） A．3 B．﹣3 C． D． 【考点】倒数． 【专题】常规题型． 【分析】直接根据倒数的定义进行解答即可． 【解答】解：∵（﹣3）×（﹣）=1， ∴﹣3的倒数是﹣． 故选：D． 【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积是1的两数互为倒数． 　 2．已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（　　） A．21×10﹣4千克 B．2.1×10﹣6千克 C．2.1×10﹣5千克 D．2.1×10﹣4千克 【考点】科学记数法—表示较小的数． 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解答】解：0.000021=2.1×10﹣5； 故选：C． 【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 　 3．分式方程的解为（　　） A．x=1 B．x=2 C．x=3 D．x=4 【考点】解分式方程． 【分析】首先分式两边同时乘以最简公分母2x（x﹣1）去分母，再移项合并同类项即可得到x的值，然后要检验． 【解答】解：， 去分母得：3x﹣3=2x， 移项得：3x﹣2x=3， 合并同类项得：x=3， 检验：把x=3代入最简公分母2x（x﹣1）=12≠0，故x=3是原方程的解， 故原方程的解为：X=3， 故选：C． 【点评】此题主要考查了分式方程的解法，关键是找到最简公分母去分母，注意不要忘记检验，这是同学们最容易出错的地方． 　 4．今年体育学业考试增加了跳绳测试项目，下面是测试时记录员记录的一组（10名）同学的测试成绩（单位：个/分钟）． 176 180 184 180 170 176 172 164 186 180 该组数据的众数、中位数、平均数分别为（　　） A．180，180，178 B．180，178，178 C．180，178，176.8 D．178，180，176.8 【考点】众数；算术平均数；中位数． 【专题】计算题． 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．再根据平均数、众数和中位数的定义求解即可． 【解答】解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180； 将这组数据从小到大的顺序排列（164，170，172，176，176，180，180，180，184，186）， 处于中间位置的那两个数为176，180，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是178； 平均数为：（164+170+172+176+176+180+180+180+184+186）÷10=176.8． 故选C． 【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 　 5．如图是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方体的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】由三视图判断几何体． 【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，再结合题意和三视图的特点找出每行和每列的小正方体的个数再相加即可． 【解答】解：由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层有1个立方体，那么搭成这个几何体所用的小立方体个数是4． 故选C． 【点评】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案． 　 6．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（　　） A．40° B．100° C．40°或100° D．70°或50° 【考点】等腰三角形的性质． 【专题】分类讨论． 【分析】此题要分情况考虑：40°是等腰三角形的底角或40°是等腰三角形的顶角．再进一步根据三角形的内角和定理进行计算． 【解答】解：当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°； 当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣40°×2=100°． 故选：C． 【点评】注意：当等腰三角形中有一个角是锐角时，可能是它的底角，也可能是它的顶角；当等腰三角形中有一个角是锐角时，只能是它的顶角． 　 7．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【考点】平行线的性质． 【分析】首先过点B作BD∥l，由直线l∥m，可得BD∥l∥m，由两直线平行，内错角相等，即可求得答案∠4的度数，又由△ABC是含有45°角的三角板，即可求得∠3的度数，继而求得∠2的度数． 【解答】解：过点B作BD∥l， ∵直线l∥m， ∴BD∥l∥m， ∴∠4=∠1=25°， ∵∠ABC=45°， ∴∠3=∠ABC﹣∠4=45°﹣25°=20°， ∴∠2=∠3=20°． 故选A． 【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用． 　 8．下列各因式分解正确的是（　　） A．﹣x2+（﹣2）2=（x﹣2）（x+2） B．x2+2x﹣1=（x﹣1）2 C．4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2 D．x2﹣4x=x（x+2）（x﹣2） 【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法． 【分析】根据完全平方公式与平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、﹣x2+（﹣2）2=﹣x2+4=（2﹣x）（2+x），故本选项错误； B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式，不能利用公式分解，故本选项错误； C、4x2﹣4x+1=（2x﹣1）2，故本选项正确； D、x2﹣4x=x（x﹣4），故本选项错误． 故选C． 【点评】本题考查了公式法分解因式，提公因式法分解因式，熟记平方差公式与完全平方公式的结构式解题的关键． 　 9．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（﹣2，1） 【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【解答】解：点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）． 故选：A． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 　 10．已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C． D．﹣ 【考点】根的判别式． 【专题】探究型． 【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根可知△=0，求出a的取值即可． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根， ∴△=22+4a=0， 解得a=﹣1． 故选B． 【点评】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 　 11．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，则半径为2的“等边扇形”的面积为（　　） A．π B．1 C．2 D． 【考点】扇形面积的计算；弧长的计算． 【专题】压轴题；新定义． 【分析】根据扇形的面积公式计算． 【解答】解：设扇形的半径为r， 根据扇形面积公式得S=lr=r2=2 故选C． 【点评】本题主要考查了扇形的面积公式． 　 12．该试题已被管理员删除 　 13．一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．﹣2＜x＜0或x＞1 B．x＜﹣2或0＜x＜1 C．x＞1 D．﹣2＜x＜1 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】先根据图象得出反比例函数与一次函数交点的坐标，再利用数形结合即可解答． 【解答】解：由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数的交点坐标为（1，4），（﹣2，﹣2）， 由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞1时，y1在y2的上方， ∴当y1＞y2时x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞1． 故选A． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，解答此题的关键是利用数形结合求出x的取值范围． 　 14．二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【考点】二次函数的图象；一次函数的性质． 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出n＜0，m＜0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限． 【解答】解：∵抛物线的顶点在第四象限， ∴﹣m＞0，n＜0， ∴m＜0， ∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限， 故选C． 【点评】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号． 　 二、填空题（本大题满分16分，每小题4分） 15．从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是　4a　． 【考点】平方差公式的几何背景． 【分析】矩形的面积就是边长是a+1的正方形与边长是a﹣1的正方形的面积的差，列代数式进行化简即可． 【解答】解：矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2=4a（cm2）． 故答案为：4a． 【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，关键是根据题意列出式子，运用平方差公式进行计算，要熟记公式． 　 16．函数中，自变量x的取值范围是　x＞﹣5　． 【考点】函数自变量的取值范围． 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：由题意得，x+5＞0， 解得x＞﹣5． 故答案为：x＞﹣5． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 　 17．如图，AC与BD交于P，AD、BC延长交于点E，∠AEC=37°，∠CAE=31°，则∠APB的度数为　99°　． 【考点】圆周角定理． 【分析】由∠ACB为△ACE的外角，求得∠ACE=∠A+∠AEC，由圆周角定理，得∠ADB=∠ACB，根据三角形外角定理即可求得答案． 【解答】解：∵∠ACB为△ACE的外角， ∴∠ACE=∠A+∠AEC ∵，∠AEC=37°，∠CAE=31°， ∴∠ACE=68°． 由圆周角定理，得∠ADB=∠ACB， ∴∠ADB=68°， ∴∠APB=∠A+∠ADB=31°+68°=99°， 故答案为99°． 【点评】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握定理是解决问题的关键． 　 18．如图，在△ABC中，AB=AC=3cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是5cm，则BC的长等于　2　cm． 【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】由AB的垂直平分线交AC于点N，根据线段的垂直平分线的性质得到NA=NB，而BC+BN+NC=5cm，则BC+AN+NC=5cm，由AC=AN+NC=3cm，即可得到BC的长． 【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于点N， ∴NA=NB， 又∵△BCN的周长是5cm， ∴BC+BN+NC=5cm， ∴BC+AN+NC=5cm， 而AC=AN+NC=3cm， ∴BC=2cm． 故答案为：2． 【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线的点到线段两端点的距离相等；也考查了三角形周长的定义． 　 三、解答题（本大题满分62分） 19．化简与计算 （1）（﹣2）0+（）﹣1+4cos30°﹣|﹣|． （2）先化简，再求值：÷（﹣a﹣2），其中a=﹣3． 【考点】分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题；分式． 【分析】（1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）原式=1+3+2﹣2=4； （2）原式=÷=﹣•=﹣， 当a=﹣3时，原式=﹣． 【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 　 20．为了解某中学2016届九年级学生2016届中考体育成绩情况，现从中抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50分、B：49～40分、C：39～30分、D：29～0分）统计，统计结果如图所示． 根据上面提供的信息，回答下列问题： （1）本次抽查了多少名学生的体育成绩； （2）补全图9.1，求图9.2中D分数段所占的百分比； （3）已知该校2016届九年级共有900名学生，请估计该校2016届九年级学生体育成绩达到40分以上的人数． 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）结合条形统计图和扇形统计图知：A的人数为80人，A占被调查人数的16%，用除法即可计算总人数； （2）根据（1）中计算的总人数以及B所占的百分比进行计算，然后正确补全统计图即可；根据条形统计图中D的具体数据结合总人数计算D所占的比例即可； （3）根据题意，知达标的即是A类和B类，共占56%，再进一步结合总体人数计算即可． 【解答】解：（1）根据统计图可知，A的人数为80人，A占被调查人数的16%， 所以本次调查的人数为80÷16%=500（人）； （2）由分数段百分比统计图知B的人数占被调查人数的40%，所以B的人数为500×40%=200（人） 在分数段统计图中将B的部分补充如图所示． D分数段所占的百分比为：×100%=12%； （3）该校2016届九年级学生体育成绩达到40分以上的人数为900×（16%+40%）=504（人）． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 　 21．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶． （1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用． 【分析】（1）等量关系为：甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱=780． （2）关系式为：甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱≤1200． 【解答】解：（1）设甲种消毒液购买x瓶，则乙种消毒液购买（100﹣x）瓶． 依题意得：6x+9（100﹣x）=780． 解得：x=40． ∴100﹣x=100﹣40=60（瓶）． 答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶． （2）设再次购买甲种消毒液y瓶，则购买乙种消毒液2y瓶． 依题意得：6y+9×2y≤1200． 解得：y≤50． 答：甲种消毒液最多再购买50瓶． 【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式．等量关系为：甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱=780．不等关系式为：甲消毒液总价钱+乙消毒液总价钱≤1200． 　 22．如图，某校2016届九年级3班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动．部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60度．请你帮助他们计算出小山的高度BC．（计算过程和结果都不取近似值） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 【专题】应用题． 【分析】首先根据题意分析图形；过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F；构造本题涉及到的两个直角三角形，根据图形分别求解可得DE与BF的值，再利用BC=DE+BF，进而可求出答案． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F， 则有DE∥FC，DF∥EC． ∵∠DEC=90°， ∴四边形DECF是矩形， ∴DE=FC． ∵∠HBA=∠BAC=45°， ∴∠BAD=∠BAC﹣∠DAE=45°﹣30°=15度． 又∵∠ABD=∠HBD﹣∠HBA=60°﹣45°=15°， ∴△ADB是等腰三角形．∴AD=BD=180（米）． 在Rt△AED中，sin∠DAE=sin30°=， ∴DE=180•sin30°=180×=90（米），∴FC=90米． 在Rt△BDF中，∠BDF=∠HBD=60°，sin∠BDF=sin60°=， ∴BF=180•sin60°=180×（米）． ∴BC=BF+FC=90+90=90（+1）（米）． 答：小山的高度BC为90（+1）米． 【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 　 23．已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG． （1）求证：EG=CG；EG⊥CG． （2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质以及三角形外角定理即可证明． （2）作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H，只要证明△GNE≌△GMC即可解决问题． 【解答】证明：（1）如图①中，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=∠ADC=90°，∠BDC=， ∵EF⊥BD， ∴∠DEF=90°， ∵GF=GD， ∴EG=DG=GF=DF，GC=DG=GF=DF， ∴EG=GC，∠GED=∠GDE，∠GCD=∠GDC， ∵∠EGF=∠GED+∠GDE=2∠EDG，∠CGF=∠GCD+∠GDC=2∠GDC， ∴∠EGC=∠EGF+∠CGF=2∠EDG+2∠GDC=2（∠EDG+∠GDC）=90°， ∴EG⊥GC． （2）图②中，结论仍然成立． 理由：作GM⊥BC于M，⊥AB于N交CD于H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ADC=90°，∠ABD=∠DBC=∠BDC=45° ∴GM=GN， ∵∠A=∠ANG=∠ADH=90°， ∴四边形ANHD是矩形， ∴∠DHN=90°，∠GDH=∠HGD=45°， ∴HG=DH=AN，同理GH=CM， ∵∠ENG=∠A=∠BEF=90°， ∴EF∥GN∥AD，∵GF=GD， ∴AN=NE=GH=MC， 在△GNE和△GMC中， ， ∴△GNE≌△GMC， ∴GE=GC，∠NGE=∠MGC， ∴∠EGC=∠NGM=90°， ∴EG⊥GC． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、正方形的性质、矩形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键，属于2016届中考常考题型． 　 24．如图1，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．[图2、图3为解答备用图] （1）k=　　，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　； （2）设抛物线y=x2﹣2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积； （3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线y=x2﹣2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形． 【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题；分类讨论． 【分析】（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式可得k值，令y=0，可得A，B两点的横坐标； （2）过M点作x轴的垂线，把四边形ABMC分割成两个直角三角形和一个直角梯形，求它们的面积和； （3）设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值；（4）有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度． 【解答】解：（1）把C（0，﹣3）代入抛物线解析式y=x2﹣2x+k中得k=﹣3 ∴y=x2﹣2x﹣3， 令y=0， 即x2﹣2x﹣3=0， 解得x1=﹣1，x2=3． ∴A（﹣1，0），B（3，0）． （2）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线的顶点为M（1，﹣4），连接OM． 则△AOC的面积=，△MOC的面积=， △MOB的面积=6， ∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． 说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面 积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和． （3）如图（2），设D（m，m2﹣2m﹣3），连接OD． 则0＜m＜3，m2﹣2m﹣3＜0 且△AOC的面积=，△DOC的面积=m， △DOB的面积=﹣（m2﹣2m﹣3）， ∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 =﹣m2+m+6 =﹣（m﹣）2+． ∴存在点D（，），使四边形ABDC的面积最大为． （4）有两种情况： 如图（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C． ∵∠CBO=45°， ∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ∴点E的坐标为（0，3）． ∴直线BE的解析式为y=﹣x+3． 由 解得 ∴点Q1的坐标为（﹣2，5）． 如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2． ∵∠CBO=45°， ∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ∴点F的坐标为（﹣3，0）． ∴直线CF的解析式为y=﹣x﹣3． 由 解得 ∴点Q2的坐标为（1，﹣4）． 综上，在抛物线上存在点Q1（﹣2，5）、Q2（1，﹣4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形． 说明：如图（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样可以． 【点评】本题考查了抛物线解析式的求法，运用解析式解决面积问题，及求构成直角三角形的条件等知识．