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2016年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则 （ ） 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ） 种 种 种 种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） 3(B）.已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时， （ ） 4.已知的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则的面积为 （ ） 5.如图，在四边形中，，,,对角线的交点为，则 ( ) 6.设实数满足 则的最大值为 ( ) 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） (本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.) 1.【1(A)、2（B）】 已知的顶点、在反比例函数（）的图象上，,,轴，点在点的上方，且则点的坐标为 . 1(B).已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,则 . 2(A).在四边形中，∥,平分,为对角线的交点，则 . 3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 3(B).若质数、满足：则的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,则的最大值为 . 第二试 (3月20日上午9:50 — 11:20) 一、（本题满分20分） 已知为正整数，求能取到的最小正整数值. 二、（本题满分25分） (A).如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:. (B).已知： 求的值. 三、（本题满分25分） (A).已知正实数满足： ,且 . (1) 求的值. (2) 证明:. (B).如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点 求的值. 2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，则 （ ） 【答案】. 【解析】 即 又 故选A. 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有 （ ） 种 种 种 种 【答案】C. 【解析】设购买三种图书的数量分别为则， 即，解得 依题意得，为自然数（非负整数）， 故有种可能的取值（分别为，对于每一个值，和都有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11种，故选C. 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 和均为“和谐数”.那么，不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） 【答案】B. 【解析】 （其中为非负整数），由得， ，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为 故选B. 3(B）.已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时， （ ） 【答案】B. 【解析】依题意知 故 且， ，于是 又为整数， 故，故选B. 4.已知的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则的面积为（ ） 【解析】设则 于 在中， 即解得，即 （第4题答案图） 为的中位线， 是的直径， 故选A. 5.如图，在四边形中，，,,对角线的交点为，则 ( ) （第5题答案图） 【答案】D. 【解析】过点作于点则～ 设 则 在中， 则 显然，化简整理得 解得（不符合题意，舍去），故 在中，,故选D. 6.设实数满足 则的最大值为 ( ) 【答案】C. 【解析】 当且仅当时，取等号，故，故选C. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） (本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.) 1.【1(A)、2（B）】 已知的顶点、在反比例函数（）的图象上，,,轴，点在点的上方，且则点的坐标为 . 【答案】. 【解析】如图，过点作于点. 在中， 在中， （第1题答案图） ,设， 依题意知故，于是 解得，故点的坐标为. 1(B).已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,则 . 【答案】. 【解析】 （第1题答案图1 ） （ 第1题答案图2） 依题意得, 故. (1)若时，如答案图1所示，≌ 又平分 在中，即 从而. 在中， 在中，. (2)若时，如答案图2所示.同理可得.综上所述，. 2(A).在四边形中，∥,平分,为对角线的交点，则 . 【答案】. 【解析】设, 平分,, ∥,, (第2题答案图) ,,, ,, 解得，, 故. 3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】. 【解析】设两个三位数分别为，则，① 故是的正整数倍，不妨设（为正整数），代入①得是三位数，，解得 为正整数，的可能取值为验证可知，只有符合，此时 故所求的六位数为. 3(B).若质数、满足：则的最大值为 . 【答案】. 【解析】由得， 因为质数，故的值随着质数的增大而增大，当且仅当取得最大值时，取得最大值. 又，，因为质数，故的可能取值为 ，但时，不是质数，舍去. 当时,恰为质数.故. 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,则的最大值为 . 【答案】 【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定的最大值. (1)若5个1分布在同一列，则； (2)若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 ,故; (3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 ,故; (4) 若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述， 另一方面，如下表的例子说明可以取到10.故的最大值为 1 1 1 4 5 1 1 2 4 5 2 2 2 4 5 3 3 2 4 5 3 3 3 4 5 第二试 (3月20日上午9:50 — 11:20) 一、（本题满分20分） 已知为正整数，求能取到的最小正整数值. 【解析】解：因为正整数，要使得的值为正整数，则有. 当时，只能为1，此时故能取到的最小正整数值不超过4. 当时，只能为1或2.若;若，则. 当时，只能为1或2或3.若;若;若则. (下面考虑：的值能否为1？) （反证法）假设，则，即， ① 因为正整数，故为奇数，从而为奇数，为偶数， 不妨设，其中均为正整数，则 即被除所得余数为3，而被4除所得余数为1， 故①式不可能成立，故.因此，能取到的最小正整数值为2. 二、（本题满分25分） (A).如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:. (第2(A)题答案图) 【证明】：连接、为的直径，于点 由四边形是正方形及于点可知: 点在上， 以点为圆心、为半径作与直线交于另一点,则与切于点,即是的切线，直线是的割线，故由切割线定理得 ,即点与点重合，点在上，. (注：上述最后一段得证明用了“同一法”) (B).已知： 求的值. 【解析】由已知得 由恒等式得， 又 同理可得 ∴原式= 【注：恒等式】 三、（本题满分25分） (A).已知正实数满足： ,且 . (3) 求的值. (4) 证明:. 【解析】（1）解：由等式， 去分母得， ， ，， ，原式= （2）证明：由（1）得计算过程知，又为正实数, ∴. 【注： 】 (B).如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点 求的值. （第3（B）题答案图） 【解析】如图，连接,则 点关于直线的对称点为点, 四点共圆,(同弧所对得圆周角相等) ,四点共圆， （注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆） 2016年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 14 页