2021年陕西省中考数学试卷.doc

2021年陕西省中考数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）计算：3×（﹣2）＝（　　） A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6 2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）计算：（a3b）﹣2＝（　　） A． B．a6b2 C． D．﹣2a3b 4．（3分）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为（　　） A．60° B．70° C．75° D．85° 5．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 7．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（　　） A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm 8．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … ﹣2 0 1 3 … y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最小值小于﹣6 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）分解因式x3+6x2+9x＝　 　． 10．（3分）正九边形一个内角的度数为 　 　． 11．（3分）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 　 　． 12．（3分）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　 　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”） 13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　 　． 三、解答题（共13小题，计18分。解答应写出过程） 14．（5分）计算：（﹣）0+|1﹣|﹣． 15．（5分）解不等式组：． 16．（5分）解方程：﹣＝1． 17．（5分）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 18．（5分）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC． 19．（5分）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价． 20．（5分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6． （1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 　 　； （2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率． 21．（6分）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号） 22．（7分）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）这60天的日平均气温的中位数为 　 　，众数为 　 　； （2）求这60天的日平均气温的平均数； （3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数． 23．（7分）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示． （1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 　 　m/min； （2）求AB的函数表达式； （3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间． 24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D． （1）求证：∠COB＝∠A； （2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长． 25．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（10分）问题提出 （1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由． 2021年陕西省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分。每小题只有一个选项是符合题意的） 1．（3分）计算：3×（﹣2）＝（　　） A．1 B．﹣1 C．6 D．﹣6 【解答】解：3×（﹣2）＝﹣6． 故选：D． 2．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，故此选项符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 3．（3分）计算：（a3b）﹣2＝（　　） A． B．a6b2 C． D．﹣2a3b 【解答】解：（a3b）﹣2＝＝． 故选：A． 4．（3分）如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠C＝50°，则∠1的大小为（　　） A．60° B．70° C．75° D．85° 【解答】解：∵∠1＝∠B+∠ADB，∠ADB＝∠A+∠C， ∴∠1＝180°﹣（∠B+∠A+∠C）， ∴∠1＝180°﹣（25°+35°+50°）， ∴∠1＝180°﹣110°， ∴∠1＝70°， 故选：B． 5．（3分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°， ∵tan∠ABD＝， ∴， 故选：D． 6．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 【解答】解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1， 把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1， 解得m＝﹣5． 故选：A． 7．（3分）如图，AB、BC、CD、DE是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若AC＝6cm，CD⊥BC，则线段CE的长度是（　　） A．6cm B．7cm C．6cm D．8cm 【解答】解：由题意知，AB＝BC＝CD＝DE＝5cm，AC＝6cm， 过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N， 则∠BMC＝∠CND＝90°，AM＝CM＝AC＝×6＝3，CN＝EN， ∵CD⊥BC， ∴∠BCD＝90°， ∴∠BCM+∠CBM＝∠BCM+∠DCN＝90°， ∴∠CBM＝∠DCN， 在△BCM和△CDN中， ， ∴△BCM≌△CDN（AAS）， ∴BM＝CN， 在Rt△BCM中， ∵BM＝5，CM＝3， ∴BM＝＝＝4， ∴CN＝4， ∴CE＝2CN＝2×4＝8， 故选：D． 8．（3分）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … ﹣2 0 1 3 … y … 6 ﹣4 ﹣6 ﹣4 … 下列各选项中，正确的是（　　） A．这个函数的图象开口向下 B．这个函数的图象与x轴无交点 C．这个函数的最小值小于﹣6 D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大 【解答】解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， 由题知， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣， ∴（1）函数图象开口向上， （2）与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0）， （3）当x＝时，函数有最小值为﹣， （4）函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当当x＞时，y的值随x值的增大而增大， 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9．（3分）分解因式x3+6x2+9x＝　x（x+3）2　． 【解答】解：原式＝x（9+6x+x2） ＝x（x+3）2． 故答案为x（x+3）2 10．（3分）正九边形一个内角的度数为 　140°　． 【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°， 则每个内角的度数＝＝140°． 故答案为：140°． 11．（3分）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为 　﹣2　． 【解答】解：依题意得：﹣1﹣6+1＝0+a﹣4， 解得：a＝﹣2． 故答案为：﹣2． 12．（3分）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1　＜　y2.（填“＞”、“＝”或“＜”） 【解答】解：∵2m﹣1＜0(m＜)， ∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大， 又∵0＜1＜3， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 　3+1　． 【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图， 过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F， ∴OE＝OF＝1， ∴OC平分∠BCD， ∵四边形ABCD为正方形， ∴点O在AC上， ∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝， ∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1， 即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1， 故答案为3+1． 三、解答题（共13小题，计18分。解答应写出过程） 14．（5分）计算：（﹣）0+|1﹣|﹣． 【解答】解：原式＝1+﹣1﹣2 ＝﹣． 15．（5分）解不等式组：． 【解答】解：解不等式x+5＜4，得：x＜﹣1， 解不等式≥2x﹣1，得：x≤3， ∴不等式组的解集为x＜﹣1． 16．（5分）解方程：﹣＝1． 【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：（x﹣1）2﹣3＝（x+1）（x﹣1）， x2﹣2x+1﹣3＝x2﹣1， x2﹣2x﹣x2＝﹣1﹣1+3， ﹣2x＝1， x＝﹣， 检验：当x＝﹣时，（x+1）（x﹣1）≠0， 所以x＝﹣是原方程的解． 17．（5分）如图，已知直线l1∥l2，直线l3分别与l1、l2交于点A、B．请用尺规作图法，在线段AB上求作一点P，使点P到l1、l2的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【解答】解：如图，点P为所作． 18．（5分）如图，BD∥AC，BD＝BC，点E在BC上，且BE＝AC．求证：∠D＝∠ABC． 【解答】证明：∵BD∥AC， ∴∠ACB＝∠EBD， 在△ABC和△EDB中， ， ∴△ABC≌△EDB（SAS）， ∴∠ABC＝∠D． 19．（5分）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的8折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售11件的销售额相等．求这种服装每件的标价． 【解答】解：设这种服装每件的标价是x元，根据题意得， 10×0.8x＝11（x﹣30）， 解得x＝110， 答：这种服装每件的标价为110元． 20．（5分）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2，3，3，6． （1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为 　　； （2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀．从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌中随机抽取一张．请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率． 【解答】解：（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是3的概率为＝， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有12种等可能的结果，抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有2种， ∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为＝． 21．（6分）一座吊桥的钢索立柱AD两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索AB的长度．他们测得∠ABD为30°，由于B、D两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现∠ACD恰好为45°，点B与点C之间的距离约为16m．已知B、C、D共线，AD⊥BD．求钢索AB的长度．（结果保留根号） 【解答】解：在△ADC中，设AD＝x， ∵AD⊥BD，∠ACD＝45°， ∴CD＝AD＝x， 在△ADB中，AD⊥BD，∠ABD＝30°， ∴AD＝BD•tan30°， 即x＝(16+x)， 解得：x＝8+8， ∴AB＝2AD＝2×（8）＝16， ∴钢索AB的长度约为（16）m． 22．（7分）今年9月，第十四届全国运动会将在陕西省举行．本届全运会主场馆在西安，开幕式、闭幕式均在西安举行．某校气象兴趣小组的同学们想预估一下西安市今年9月份日平均气温状况．他们收集了西安市近五年9月份每天的日平均气温，从中随机抽取了60天的日平均气温，并绘制成如下统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）这60天的日平均气温的中位数为 　19.5℃　，众数为 　19℃　； （2）求这60天的日平均气温的平均数； （3）若日平均气温在18℃~21℃的范围内（包含18℃和21℃）为“舒适温度”．请预估西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数． 【解答】解：（1）这60天的日平均气温的中位数为＝19.5（℃），众数为19℃， 故答案为：19.5℃，19℃； （2）这60天的日平均气温的平均数为×（17×5+18×12+19×13+20×9+21×6+22×4+23×6+24×5）＝20（℃）； （3）∵×30＝20（天）， ∴估计西安市今年9月份日平均气温为“舒适温度”的天数为20天． 23．（7分）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示． （1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是 　1　m/min； （2）求AB的函数表达式； （3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间． 【解答】解：（1）由图像知：“鼠”6min跑了30m, ∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min）, “猫”5min跑了30m, ∴“猫”的速度为：30÷5＝6（m/min）, ∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1(m/min), 故答案为：1； （2）设AB的解析式为：y＝kx+b, ∵图象经过A(7,30)和B(10,18), 把点A和点B坐标代入函数解析式得： , 解得：, ∴AB的解析式为:y＝﹣4x+58； (3)令y＝0,则﹣4x+58＝0， ∴x＝14.5， ∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发， ∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣1＝13.5（min）． 答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5min． 24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且＝2，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D． （1）求证：∠COB＝∠A； （2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长． 【解答】（1）证明：取的中点M，连接OM、OF， ∵＝2， ∴＝＝， ∴∠COB＝∠BOF， ∵∠A＝∠COF， ∴∠COB＝∠A； （2）解：连接BF，如图， ∵CD为⊙O的切线， ∴AB⊥CD， ∴∠OBC＝∠ABD＝90°， ∵∠COB＝∠A， ∴△OBC∽△ABD， ∴＝，即＝，解得BD＝8， 在Rt△ABD中，AD＝＝＝10， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∵∠BDF＝∠ADB， ∴Rt△DBF∽Rt△DAB， ∴＝，即＝，解得DF＝． 25．（8分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点B、C的坐标； （2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+8， 取x＝0，得y＝8， ∴C(0，8)， 取y＝0，得﹣x2+2x+8＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝4， ∴B(4，0)； （2）存在点P，设P(0，y)， ∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边， ∴， 即：， 解得：y1＝16，， ∴P(0，16)或P(0，)． 26．（10分）问题提出 （1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号） 问题解决 （2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1， 过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H， ∴∠H＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝8，AB∥CD， ∴∠ADH＝∠BAD＝45°， 在Rt△ADH中，AD＝6， ∴AH＝AD•sinA＝6×sin45°＝3， ∵点E是AD的中点， ∴DE＝AD＝3， 同理EG＝， ∵DF＝5， ∴FC＝CD﹣DF＝3， ∴S四边形ABFE＝S▱ABCD﹣S△DEF﹣S△BFC＝8×3﹣×5×﹣×3×3＝； （2）存在，如图2，分别延长AE，与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形， ∴AK＝BC＝1200米，AB＝CK＝800米， 设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米， ∴MK＝AK﹣AM＝1200﹣（1200﹣2x）＝2x米，PK＝CK﹣CP＝（800﹣x）米， ∴S四边形OPMN＝S矩形ABCK﹣S△AMN﹣S△BON﹣S△OCP﹣S△PKM ＝800×1200﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x）﹣x（1200﹣2x）﹣•2x（800﹣x） ＝4（x﹣350）2+470000， ∴当x＝350时，S四边形OPMN最小＝470000（平方米）， AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600， ∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为47000平方米，此时，点N到点A的距离为350米． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2021/6/26 7:54:10；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@；学号：500557 第21页（共21页）