高考数学专题三函数的概念与基本初等函数3.1函数及其性质基础篇考点一函数的概念及表示1.函数的定义一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.2.函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.3.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.考点二分段函数若函数在某定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.考点三函数的单调性及最值1.函数的单调性一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:1)增函数:如果∀x1,x2∈D,当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减,图象描述如图②.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调图①图②注意:单调函数的定义有以下两种等价形式:∀x1,x2[∈a,b],且x1≠x2,(1)>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.(2)(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.1212()()fxfxxx1212()()fxfxxx2.函数的最值前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:条件∀x∈I,都有f(x)≤M;∃x0∈I,使得f(x0)=M∀x∈I,都有f(x)≥M;∃x0∈I,使得f(x0)=M结论M是f(x)的最大值M是f(x)的最小值考点四函数的奇偶性前提(必要条件)奇偶性满足的充要条件图象特征函数f(x)的定义域关于原点对称奇函数对定义域中任意的x,都有f(-x)=-f(x)关于原点对称偶函数对定义域中任意的x,都有f(-x)=f(x)关于y轴对称注意:既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)=0,x∈D.其中定义域D是关于原点对称的非空数集.知识拓展1.对于奇函数:(1)如果定义域中包含0,那么f(0)=0;(2)若函数在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0;(3)在关于原点对称的区间上单调性相同.2.对于偶函数:(1)f(x)=f(|x|);(2)在关于原点对称的区间上单调性相反.3.定义域关于原点对称的函数y=f(x)总可以写成“一个奇函数g(x)=与一个偶函数h(x)=之和的形式”,即f(x)=g(x)+h(x).(...
