1_3.1　函数及其性质.pptx

高考数学,专题三函数的概念与基本初等函数3.1函数及其性质,考点一函数的概念及表示1.函数的定义一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),xA.2.函数的定义域、值域在函数y=f(x),xA中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域.3.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.4.函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法.,考点二分段函数若函数在某定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.,考点三函数的单调性及最值1.函数的单调性一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间DI:1)增函数:如果x1,x2D,当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减,图象描述如图.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数.,图 图注意:单调函数的定义有以下两种等价形式:x1,x2a,b,且x1x2,(1)0f(x)在a,b上是增函数;0f(x)在a,b上是增函数;(x1-x2)f(x1)-f(x2)0f(x)在a,b上是减函数.,2.函数的最值,考点四函数的奇偶性,注意:既是奇函数又是偶函数的函数是f(x)=0,xD.其中定义域D是关于原点对称的非空数集.,知识拓展1.对于奇函数:(1)如果定义域中包含0,那么f(0)=0;(2)若函数在关于原点对称的区间上有最值,则f(x)max+f(x)min=0;(3)在关于原点对称的区间上单调性相同.2.对于偶函数:(1)f(x)=f(|x|);(2)在关于原点对称的区间上单调性相反.3.定义域关于原点对称的函数y=f(x)总可以写成“一个奇函数g(x)=与一个偶函数h(x)=之和的形式”,即f(x)=g(x)+h(x).,考点五函数的周期性对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.注意:并不是所有的周期函数都有最小正周期,如f(x)=5.由于每一个正数都是它的周期,但不存在最小正数,即函数f(x)=5无最小正周期.,考法一函数定义域的求法1.求给定解析式的函数的定义域以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式(组)求解.对于实际问题,既要使解析式有意义,又要使实际问题有意义.2.求某些抽象函数的定义域1)若函数f(x)的定义域为a,b,则复合函数fg(x)的定义域由ag(x)b求出;2)若函数fg(x)的定义域为a,b,则f(x)的定义域为g(x)在xa,b上的值域.3.求用解析式表示的函数定义域的常见类型如下:1)若f(x)是整式,则f(x)的定义域是R.,2)若f(x)是分式,则要求分母不为零.3)若解析式为y=(nN*),则要求f(x)0.4)y=x0的定义域是x|x0.5)若同时出现上述几种情况,则分别找出各自所满足的自变量的范围,然后求交集.,例1(2022济南外国语学校月考,5)函数f(x)=+的定义域为()A.(-1,0)(0,2B.-2,0)(0,2C.-2,2D.(-1,2,解析要使函数有意义,则有解得-1x0或0 x2,即函数的定义域为(-1,0)(0,2,故选A.,答案A,例2已知函数y=f(x-1)的定义域为1,3,则函数y=f(log3x)的定义域为()A.0,1B.1,9C.0,2D.0,9,解析由于函数y=f(x-1)的定义域为1,3,则1x3,可得0 x-12,所以函数y=f(x)的定义域为0,2.要使函数y=f(log3x)有意义,则0log3x2,即log31=0log3x2=log39,则1x9,所以y=f(log3x)的定义域为1,9.故选B.,答案B,例3(2021湖北襄阳五中二模,14)已知函数y=f的定义域是1,+),则函数y=f(x)的定义域是.,解析令g(x)=(x1),则g(x)=1+=1+(x1),y=x-在1,+)上单调递增,x-0,01,1g(x)2,f(x)的定义域为(1,2.(g(x)的值域即为f(x)的定义域),答案(1,2,考法二函数解析式的求法1.待定系数法.已知函数的类型(如一次函数、二次函数),比如二次函数可设为f(x)=ax2+bx+c(a0),其中a、b、c是待定系数,根据题设条件,列出方程组,解出待定系数即可.2.换元法.已知fh(x)=g(x),求f(x)时,往往可设h(x)=t,从中解出x,代入g(x)进行换元,便可求解.要注意新元的取值范围.3.配凑法.已知fh(x)=g(x),求f(x)的问题,往往把右边的g(x)整理或配凑成只含h(x)的式子,用x将h(x)代换.4.解方程组法.已知f(x)满足某个等式,这个等式除f(x)是未知量外,还有其他未知量,如f,f(-x)等,必须根据已知等式构造其他等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).,5.赋值法.f(x)是关于x,y两个变量的方程式,可对变量赋值求出f(x).,例4根据下列条件,求函数f(x)的解析式.(1)已知f(x)是一次函数,且f(f(x)=4x-1,求f(x);(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x).,解析(1)设f(x)=ax+b(a0),则f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.因为f(f(x)=4x-1,所以a2x+ab+b=4x-1,所以解得或所以f(x)=2x-或 f(x)=-2x+1.(2)设f(x)=ax2+bx+c(a0),由f(0)=1,得c=1,由f(x+1)-f(x)=2x,得a(x+1)2+b(x+1)+1-ax2-bx-1=2x,整理,得2ax+a+b=2x,则解得所以f(x)=x2-x+1.,名师点睛用待定系数法求函数的解析式的基本步骤(1)设:根据函数类型设出函数的解析式.(2)列:由解析式恒成立,列出方程(方程组).(3)解:解方程(方程组).(4)答:写出解析式.,例5根据下列条件,求函数f(x)的解析式.(1)已知等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)对一切实数x,y都成立,且f(0)=1;(2)已知2f(x)+f=3x对任意不为零的实数x恒成立.,解析(1)(赋值法)令x=y,则f(0)=f(x)-x(2x-x+1),又因为f(0)=1,所以f(0)=f(x)-x(x+1)=1,即f(x)=x2+x+1.(2)(解方程组法)用替换x得2f+f(x)=,联立得解得f(x)=2x-(x0).,考法三分段函数问题的解题策略1.求函数值.弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式.求“层层套”的函数值,要从最内层逐层往外计算.2.求函数最值.分别求出每个区间上的最值,然后比较大小,从而得出最值.3.解不等式.根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解.4.求参数.分段处理,利用代入法列出各区间上的方程或不等式,然后求解.,例6(2022江苏南通开学考,5)若函数f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为()A.B.C.D.,解析因为函数f(x)是定义在R上的减函数,所以解得a.故选A.,答案A,例7(2015福建,14,4分)若函数f(x)=(a0,且a1)的值域是4,+),则实数a的取值范围是.,解析当x2时,f(x)=-x+6,f(x)在(-,2上为减函数,f(x)4,+).当x2时,若a(0,1),则f(x)=3+logax在(2,+)上为减函数,f(x)(-,3+loga2),显然不满足题意,a1,此时f(x)在(2,+)上为增函数,f(x)(3+loga2,+),由题意可知(3+loga2,+)4,+),则3+loga24,即loga21,1a2.,答案(1,2,考法四函数单调性的判断及应用1.判断函数单调性或求单调区间的方法1)定义法:一般步骤为取值作差变形判断符号得出结论.2)图象法:若f(x)是以图象形式给出,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.3)导数法:先求导数,再利用导数值的正负确定函数的单调区间.4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各基本初等函数的增减性及“增+增=增,增-减=增,减+减=减,减-增=减”进行判断(函数的定义域相同).5)复合法:对于复合函数,先将函数f(g(x)分解成f(t)和t=g(x),然后讨论(判断)这两个函数的单调性,再根据复合函数“同增异减”的法则进行判断.,2.函数单调性的应用利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小;求解或证明不等式;求参数的取值范围.,例8(2022福建龙岩重点高中月考,19)已知函数f(x)=为奇函数.(1)求实数a的值并证明f(x)的单调性;(2)若实数t满足不等式f+f(-1)0,求t的取值范围.,解析(1)因为f(x)=是定义域为R的奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,所以2x(a-1)=1-a,解得a=1.所以f(x)=.证明:任取x1,x2R,x1-f(-1)=f(1)10(t-2)(t-3)02t3,所以t(2,3).,名师点睛求解含“f”的不等式的解题思路是先利用函数的单调性将不等式转化为fg(x)fh(x)的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)h(x)求解.,考法五函数奇偶性的判断及应用1.函数奇偶性的判断方法1)定义法,2)图象法3)性质法若f(x),g(x)在其公共定义域上具有奇偶性,则奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.2.函数奇偶性的应用主要有两个方向:1)求函数值或函数解析式:将所求值或解析式对应的自变量利用奇偶性转化到已知解析式的区间,构造方程(组).2)求参数:由定义或定义的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)与f(x)-f(-x)=0(偶函数)得到恒等式,再利用系数相等构造方程(组).,3.常见的具有奇偶性的函数类型:1)常见的奇函数:函数f(x)=m(x0)或函数f(x)=m;函数f(x)=(ax-a-x);函数f(x)=loga=loga或函数f(x)=loga=loga;函数f(x)=loga(+x)或函数f(x)=loga(-x).2)常见的偶函数:函数f(x)=(ax+a-x);函数f(x)=loga(amx+1)-.(以上各式中a0,且a1),例9已知函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m等于()A.0B.2C.4D.8,解析易知f(x)的定义域为R,f(x)=2+,设g(x)=(xR),则g(-x)=-g(x),g(x)为奇函数,g(x)max+g(x)min=0.M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,M+m=2+g(x)max+2+g(x)min=4,故选C.,答案C,例10判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=+;(2)f(x)=(x+1);(3)f(x)=;(4)f(x)=,解析(1)由得x=3.f(x)的定义域为-3,3,f(x)=0.即f(x)=f(-x).f(x)既是奇函数,又是偶函数.(2)由得-1x1.f(x)的定义域(-1,1不关于原点对称,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.(3)由得-2x2且x0.f(x)的定义域为-2,0)(0,2,关于原点对称.此时,有f(x)=,f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数.(4)当x0时,f(x)=-x2+2x+1,此时-x0,因此f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-f(x),所以f(x)为奇函数.,考法六函数周期性的判断及应用1.关于函数周期性的几个常用结论1)若f(x+a)=f(x+b)(ab),则f(x)的周期是T=|a-b|.2)若f(x+a)=-f(x),则f(x)的周期是T=2|a|.3)若f(x+a)=或f(x+a)=-,其中f(x)0,则f(x)的周期是T=2|a|.4)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期函数,2|a|是它的一个周期.5)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(a0)对称,则f(x)是周期函数,4|a|是它的一个周期.2.函数的对称性与周期性的关系1)若函数y=f(x)的图象有两条对称轴x=a,x=b(ab),则函数f(x)是周期函数,且T=2(b-a).2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(ab),则函数y=f(x)是周期函数,且T=2(b-a).3)若函数y=f(x)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(ab),则函数y=f(x)是周期函数,且T=4(b-a).3.对称性1)若函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称,则f(a+x)=f(a-x).2)若函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称,则f(a+x)+f(a-x)=2b.,例11(2018课标,12,5分)已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50,解析f(x)是定义域为R的奇函数,f(0)=0,且f(-x)=-f(x),又f(1-x)=f(1+x),f(-x)=f(2+x),由得f(2+x)=-f(x),f(4+x)=-f(2+x),f(x)=f(x+4),f(x)的最小正周期为4,对于f(1+x)=f(1-x),令x=1,得f(2)=f(0)=0;令x=2,得f(3)=f(-1)=-f(1)=-2;令x=3,得f(4)=f(-2)=-f(2)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=120+f(1)+f(2)=0+2+0=2.故选C.,答案C,名师点睛抽象函数图象的对称性与周期性的判断如下:若f(x+a)=f(-x+b),则函数y=f(x)的图象关于直线x=对称;若f(x+a)+f(-x+b)=0,则函数y=f(x)的图象关于点中心对称.,