1_9.5　圆锥曲线的综合问题.pptx

高考数学,专题九平面解析几何9.5圆锥曲线的综合问题,考法一求轨迹方程1.求轨迹方程的基本步骤1)建立适当的平面直角坐标系,设轨迹上任一点的坐标为M(x,y);2)列出动点所满足的几何等量关系式;3)选用合适的公式表示几何等量关系;4)化简整理等量关系式得到一个方程;5)证明所得方程为所求曲线的轨迹方程.通常将步骤简记为:建系设点、列式、代换、化简、检验.2.求轨迹方程的基本方法1)直接法:直译法、待定系数法、几何法、定义法;2)间接法:相关点法、参数法、交轨法.,例1(2019课标,21,12分)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PEx轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.(i)证明:PQG是直角三角形;(ii)求PQG面积的最大值.,解析(1)由题设得=-,化简得+=1(|x|2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左、右顶点.(2)(i)证明:设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k0).由得x=.记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.设G(xG,yG),则-u和xG是方程的解,故xG=,由此得yG=.从而直线PG的斜率为=-.所以PQPG,即PQG是直角三,角形.(ii)由(i)得|PQ|=2u,|PG|=,所以PQG的面积S=|PQ|PG|=.设t=k+,则由k0得t2,当且仅当k=1时取等号.因为S=在2,+)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为.因此,PQG面积的最大值为.,考法二定值与定点问题定值问题的解决思路是“变量函数定值”,定点问题的解决分为“特殊一般”法和“直接推理、计算”法.,例2(2021济南二模,21)已知椭圆C:+=1(ab0)的离心率为,且经过点H(-2,1).(1)求椭圆C的方程;(2)过点P(-3,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线HA,HB分别交x轴于M,N两点,点G(-2,0),若=,=,求证:+为定值.,解析(1)由题意知e=,则a2=2b2,又椭圆C经过点H(-2,1),所以+=1.联立解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)证明:显然,直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为x=my-3,A(x1,y1),B(x2,y2),由消x得(m2+2)y2-6my+3=0,所以=36m2-12(m2+2)0,y1+y2=,y1y2=,由题意知y1,y2均不为1.设M(xM,0),N(xN,0),由H,M,A三点共线知与共线,所以xM-x1=-y1(-2-xM),化简得xM=.同理由H,N,B三点共线可得xN=.由=,得(xM+3,0)=(1,0),即,=xM+3;由=,得(xN+3,0)=(1,0),即=xN+3.所以+=+=+=+=+=2,所以+为定值.,考法三最值与范围问题1.几何法:利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解.2.代数法:把要求最值、范围的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数法、不等式法等进行求解.,例3(2021全国乙理,21,12分)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求PAB面积的最大值.,解析(1)由题意知抛物线的焦点F的坐标为,又因为点F到圆x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4,所以+4-1=4,即=1,解得p=2.(2)由(1)知抛物线C:x2=4y,设A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1=,y2=.由y=得y=,所以在点A处的切线斜率为,切线方程为y-=(x-x1),即y=x-,同理,在点B处的切线方程为y=x-.易知两切线交于点P,设P(x0,y0),所以有即由此可知(x1,y1),(x2,y2)是直线x0 x-2y-2y0=0上的两个点,即直线AB的方程为,x0 x-2y-2y0=0,由得x2-2x0 x+4y0=0,则x1+x2=2x0,x1x2=4y0,=4-16y0,易知0,即-4y00,所以|AB|=,而点P(x0,y0)到直线AB的距离d=.所以SPAB=|AB|d=(-4y0,因为点P在M上,所以+(y0+4)2=1,所以=-8y0-15.所以SPAB=(-12y0-15=-(y0+6)2+21,由题意易知y0-5,-3,所以当y0=-5时,SPAB取得最大值,最大值为20.即PAB面积的最大值为20.,考法四存在性问题解决存在性问题的常用方法1.肯定顺推法:将不确定的问题明朗化.其步骤为首先假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在,然后利用这些条件并结合题目中的已知条件进行推理计算,若不出现矛盾,并且得到相应的几何元素或参数值,则元素(点、直线、曲线或参数)存在;否则元素(点、直线、曲线或参数)不存在.2.反证法和验证法也是求解存在性问题的常用方法.,例4(2022山东枣庄二调,21)在平面直角坐标系xOy中,动点G到点F(4,0)的距离比到直线x+6=0的距离小2.(1)求G的轨迹方程;(2)设动点G的轨迹为曲线C,过点F作斜率为k1,k2的两条直线分别交C于M,N两点和P,Q两点,其中k1+k2=2.设线段MN和PQ的中点分别为A,B,过点F作FDAB,垂足为D.试问:是否存在定点T,使得线段TD的长度为定值?若存在,求出点T的坐标及定值;若不存在,说明理由.,解析(1)由动点G到点F(4,0)的距离比到直线x+6=0的距离小2,得动点G到点F(4,0)的距离与到直线x+4=0的距离相等,故动点G的轨迹是以F(4,0)为焦点,以直线x=-4为准线的抛物线,设抛物线方程为y2=2px(p0),则p=8,故G的轨迹方程为y2=16x.(2)由题意,知直线MN的方程为y=k1(x-4),k10,k20,k1k2,由消去y得x2-(8+16)x+16=0,1=256(+1)0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=8+,则y1+y2=k1(x1-4)+k1(x2-4)=,故A,同理可求得B,所以kAB=,故直线AB的方程为y=+=(x-4)+=(x-4)+4,故直线AB过定点(4,4),设该点为E(4,4),又因为FDAB,所以点D在以EF为直径的圆上,因为E(4,4),F(4,0),所以|EF|=4,故以EF为直径的圆的方程为(x-4)2+(y-2)2=4,故存在定点T(4,2),使得线段TD的长度为定值2.,