1_9.4　抛物线及其性质.pptx

高考数学,专题九平面解析几何9.4抛物线及其性质,考点一抛物线的定义及标准方程1.定义:把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.2.标准方程:焦点在x轴上:y2=2px(p0);焦点在y轴上:x2=2py(p0).,考点二抛物线的几何性质,其中P(x0,y0),Q(x1,y1)是抛物线上两动点,且PQ过焦点F,线段PF称为抛物线的焦半径,线段PQ称为抛物线的焦点弦.,考点三直线与抛物线的位置关系1.直线与抛物线的位置关系设直线l:y=kx+b,抛物线y2=2px(p0),直线与抛物线交点的个数等价于方程组解的个数,也等价于方程ky2-2py+2bp=0解的个数.1)当k0时,若0,则直线和抛物线相交,有两个公共点;若=0,则直线和抛物线相切,有一个公共点;若0)相交,有一个公共点.3)特别地,当直线l的斜率不存在时,设l:x=m,则当m0时,l与抛物线相交,有两个公共点;当m=0时,l与抛物线相切,有一个公共点;当m0时,l与抛物线相离,无公共点.,2.焦点弦的性质以抛物线y2=2px(p0)为例,设AB是过抛物线焦点F的一条弦,AB所在直线的倾斜角为,A(x1,y1),B(x2,y2),A、B在准线上的射影为A1、B1,则有以下结论:1)x1x2=,y1y2=-p2;2)若A位于x轴上方,B位于x轴下方,则|AF|=,|BF|=;3)|AB|=x1+x2+p=,抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦;4)SAOB=;5)+=为定值;6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;,7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切.3.弦中点AB为抛物线的一条弦,其中点为M(x0,y0).1)若抛物线为y2=2px,则kAB=;2)若抛物线为x2=2py,则kAB=.(其中p0,y00),考法一利用抛物线的定义解题,例1(2022广东茂名调研五,14)已知圆C:x2+y2+6x+8y+21=0,点A是圆C上任一点,抛物线y2=8x的准线为l,设抛物线上任意一点到直线l的距离为m,则m+|PA|的最小值为.,解析由圆C:x2+y2+6x+8y+21=0可得圆心C(-3,-4),r=2.设y2=8x的焦点为F,则F(2,0),l:x=-2,过点P作PHl于点H,则|PH|=m,由抛物线的定义可知|PH|=|PF|,所以m+|PA|=|PH|+|PA|=|PF|+|PA|FC|-r=|FC|-2=-2=-2,当且仅当P,F,C(P在线段FC上)三点共线时等号成立,所以m+|PA|的最小值为-2.,答案-2,考法二直线与抛物线的位置关系问题,例2(多选)(2022辽宁名校联盟联考,12)已知抛物线C:x2=2py(p0)的准线l的方程为y=-1,过C的焦点F的直线与C交于A,B两点,以A,B为切点分别作C的两条切线,且两切线交于点M,则下列结论正确的是()A.C的方程为x2=2yB.AMB=90C.M恒在l上D.|MF|2=|AF|BF|,解析由题意得-=-1,所以p=2,因此C的方程为x2=4y,A项错误;由题意可知直线AB的斜率存在,F(0,1),设AB的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),由得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.由y=x2得y=x,所以AM的斜率为kAM=x1,所以AM的方程为y-y1=x1(x-x1),即y-=x1(x-x1),同理BM的斜率为kBM=x2,所以BM的方程为y-=x2(x-x2),所以kAMkBM=x1x2=-1,即AMBM,所以AMB=90,B项正确;由得(x2-x1)y=x1x2(x2-x1),因为x1x2,所以y=-1,将y=-1分别代入得x=2k,所以点M的坐标为(2k,-1),又C的准线l的方程为y=-1,所以M恒在l上,C项正确;当AB的斜率k不为零时,kMF=-,所以kABkMF=-1,所以ABMF,当AB的斜率k=0时,点M,的坐标为(0,-1),显然ABMF,由AMFMBF得=,所以|MF|2=|AF|BF|,D项正确,故选BCD.,答案BCD,