1_9.2　椭圆及其性质.pptx

高考数学,专题九平面解析几何9.2椭圆及其性质,考点一椭圆的定义及标准方程1.定义把平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.2.标准方程焦点在x轴上:+=1(ab0);焦点在y轴上:+=1(ab0).3.焦点三角形1)P是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点,则=b2tan,其中为F1PF2.PF1F2的周长为2(a+c).,2)过焦点F1的弦AB与椭圆另一个焦点F2构成的ABF2的周长为4a.,考点二椭圆的几何性质1.椭圆的几何性质,2.常用结论1)设P,A,B是中心在原点,焦点在x轴上的椭圆上不同的三点,其中A,B两点关于原点对称,且直线PA、PB的斜率都存在,则kPAkPB=-.2)P是椭圆上一点,F为椭圆的焦点,则|PF|a-c,a+c,即椭圆上的点到焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c.3)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为,通径是最短的焦点弦.,考点三直线与椭圆的位置关系1.位置关系的判断若把椭圆方程+=1(ab0)与直线方程y=kx+m(k0)联立,消去y,整理成Ax2+Bx+C=0的形式(这里的系数A一定不为零),则:,2.椭圆的弦长设直线y=kx+m与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=|x1-x2|=或|AB|=|y1-y2|=(k0).3.弦中点问题设AB是椭圆的弦,其中点为P(x0,y0)(y00).若椭圆焦点在x轴上,则kAB=-.若椭圆焦点在y轴上,则kAB=-.,考法一求椭圆的标准方程方法一:待定系数法方法二:定义法,例1(2022长沙长郡中学一模,14)已知椭圆C:+=1(ab0),若长轴长为6,且两焦点恰好将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为.,解析设椭圆的半焦距为c(c0).由椭圆长轴长为6,知2a=6,得a=3.两焦点恰好将长轴三等分,2c=2a=2,得c=1,b2=a2-c2=9-1=8,此椭圆的标准方程为+=1.,答案+=1,考法二求椭圆的离心率(或范围)1.给定椭圆的方程确定a2,b2求出a,c的值利用e=求解.2.椭圆方程未知建立关于a,b,c的齐次式(不等式)化为关于a,c的齐次式(不等式)化为关于e的方程(不等式)求解.,例2(2022广东汕头二模,5)已知椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线AB与椭圆交于A,B两点,当F2AB为正三角形时,该椭圆的离心率为()A.B.C.D.,解析设正三角形F2AB的边长为m,椭圆的标准方程为+=1(ab0),左、右焦点坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0),|BF1|=x,则有|AF1|=m-x.由椭圆的定义可知|BF1|+|BF2|=2ax+m=2a,|AF1|+|AF2|=2am-x+m=2a,解得m=a,x=a.在F2F1B中,由余弦定理可知|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|BF2|cos,即4c2=a2+a2-2a2=3c2e=.,答案B,例3已知椭圆+=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,若在直线x=2a上存在点P使线段PF1的垂直平分线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是.,解析连接PF2.直线x=2a上存在点P使线段PF1的垂直平分线过点F2,|PF2|=|F1F2|=2c.若点P在x轴上,则|PF2|=2a-c;若点P不在x轴上,则|PF2|2a-c.|PF2|=2c2a-c,即2a3c.e,又e1,e1.即椭圆离心率的取值范围是.,答案,考法三直线与椭圆的位置关系问题 1.判断直线与椭圆的位置关系,可通过判断直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解个数来确定.一般通过消元得关于x(或y)的一元二次方程,若0,则直线与椭圆相交;若=0,则直线与椭圆相切;若b0)上两点,弦AB的中点为P(x0,y0),y00,则x0=,y0=,可通过根与系数的关系来解决弦中点问题,这其中的解题方法就是常说的“设而不求,整体代入”;也可以由,用-将问题转化为斜率与中点坐标的关系来解决(称为点差法).4.在直线与椭圆的位置关系问题中,常涉及变量的求值和最值(范围)问题,通常要用方程和函数的思想方法,恰当地选择函数的自变量至关重要.,例4(2021河北三市联考,8)已知斜率存在的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,点P是弦AB的中点,点M(1,0),且(-)=0,|MP|=1,则直线MP的斜率为()A.2B.4C.D.,解析设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),直线AB的斜率为k,不妨令k0,则+=1,+=1,两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,所以2x0+2y0=0,所以4x0+9y0k=0,故k=-.由(-)=0,得MPAB,又kMP=,所以kkMP=-=-1,解得x0=.过点P作PHx轴于点H,则cosPMH=,所以tanPMH=,即kMP=,考虑对称性可知,直线MP的斜率为.故选D.,答案D,