第1页共18页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版8.4直线、平面垂直的判定和性质考点一直线、平面垂直的判定和性质1.(2015陕西,18,12分)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=π2,AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明:CD⊥平面A1OC;(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36√2,求a的值.解析(1)证明:在题图1中,因为AB=BC=12AD=a,E是AD的中点,∠BAD=π2,所以BE⊥AC.即在题图2中,BE⊥A1O,BE⊥OC,又A1O∩OC=O,从而BE⊥平面A1OC,又CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,又由(1)知,A1O⊥BE,所以A1O⊥平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.由题图1知,A1O=√22AB=√22a,平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.从而四棱锥A1-BCDE的体积为V=13×S×A1O=13×a2×√22a=√26a3,第2页共18页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版由√26a3=36√2,得a=6.评析本题首先借“折叠”问题考查空间想象能力,同时考查线面垂直的判定及面面垂直性质的应用.2.(2015福建,20,12分)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.(1)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;(3)若BC=√2,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.解析(1)证明:在△AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以AC⊥DO.又PO垂直于圆O所在的平面,所以PO⊥AC.因为DO∩PO=O,所以AC⊥平面PDO.(2)因为点C在圆O上,所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.又AB=2,所以△ABC面积的最大值为12×2×1=1.又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为13×1×1=13.(3)解法一:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,所以PB=√12+12=√2.同理,PC=√2,所以PB=PC=BC.在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.第3页共18页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版又因为OP=OB,C'P=C'B,所以OC'垂直平分PB,即E为PB中点.从而OC'=OE+EC'=√22+√62=√2+√62,亦即CE+OE的最小值为√2+√62.解法二:在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°,所以∠OPB=45°,PB=√12+12=√2.同理PC=√2.所以PB=PC=BC,所以∠CPB=60°.在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在直线旋转至平面BC'P,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C'共线时,CE+OE取得最小值.所以在...
