第1页共42页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版8.5空间角与距离、空间向量及其应用基础篇考点一用向量法证明空间中的平行和垂直1.(2021广东佛山月考,3)直线l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为(1,12,2),则m=()A.-4B.-6C.-8D.8答案C2.(2022福州一中质检,4)以下四组向量在同一平面的是()A.(1,1,0)、(0,1,1)、(1,0,1)B.(3,0,0)、(1,1,2)、(2,2,4)C.(1,2,3)、(1,3,2)、(2,3,1)D.(1,0,0)、(0,0,2)、(0,3,0)答案B3.(多选)(2022广东中山一中阶段测试,10)如图,两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直,设M,N分别是AC和AE的中点,那么下列结论正确的是()A.AD⊥MNB.MN∥平面CDEC.MN∥CED.MN,CE异面答案ABC4.(多选)(2021新高考Ⅰ,12,5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,点P满足⃗BP=λ⃗BC+μ⃗BB1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],则()A.当λ=1时,△AB1P的周长为定值B.当μ=1时,三棱锥P-A1BC的体积为定值C.当λ=12时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BPD.当μ=12时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P第2页共42页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版答案BD5.(2023届南京、镇江学情调查,19)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,侧棱SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2,AD=1,M是棱SB的中点.(1)求证:AM∥平面SCD;(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值.解析因为SA⊥底面ABCD,AB垂直于AD,所以以点A为坐标原点,以向量⃗AD,⃗AB,⃗AS的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(1,0,0),S(0,0,2),M(0,1,1),所以⃗AM=(0,1,1),⃗SD=(1,0,-2),⃗CD=(-1,-2,0).(1)证明:设平面SCD的法向量为n=(x,y,z),则{⃗SD·n=0,⃗CD·n=0,即{x−2z=0,−x−2y=0,令z=1,则x=2,y=-1,则n=(2,-1,1).因此⃗AM·n=-1+1=0,从而⃗AM⊥n,又AM⊄平面SCD,所以AM∥平面SCD.(2)易知平面SAB的一个法向量为n1=(1,0,0),由(1)知平面SCD的一个法向量为n=(2,-1,1),则cos=n·n1¿n∨¿n1∨¿=2√6×1=√63¿,所以平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值为√63.6.(2022南京一中期初测试,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,点E在棱PD上,且2PE=ED,点F是棱PC上的动点(不含端点).(1)若F是棱PC的中点,求证:PB∥平面AEF;第3页共42页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版(2)求PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值.解析因为四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PA⊥底面ABCD,所以AB,A...
