第1页共15页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版专题八立体几何8.1空间几何体的表面积和体积考点一空间几何体的结构特征1.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为()A.2B.2√2C.4D.4√2答案B设圆锥的母线长为l,由题意得πl=2π·√2,∴l=2√2.故选B.易错警示1.不清楚圆锥侧面展开图是扇形;2.记不清扇形弧长公式.2.(2020课标Ⅰ理,3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+12答案C如图,设正四棱锥的底面边长BC=a,侧面等腰三角形底边上的高PM=h,则正四棱锥的高PO=√ℎ2−a24,第2页共15页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版∴以|PO|为边长的正方形面积为h2-a24,一个侧面三角形面积为12ah,∴h2-a24=12ah,∴4h2-2ah-a2=0,两边同除以a2可得4(ℎa)2−2·ℎa-1=0,解得ℎa=1±√54,又 ℎa>0,∴ℎa=√5+14.故选C.解题关键利用以四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,求得底面边长a与侧面等腰三角形底边上的高h之间的关系是求解本题的关键.考点二空间几何体的表面积与体积1.(2021北京,8,4分)对24小时内降水在平地上的积水厚度(mm)进行如下定义:平地降雨量(mm)0~1010~2525~5050~100降雨等级小雨中雨大雨暴雨如图所示,小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水,那么这24小时降雨的等级是()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨第3页共15页北京曲一线图书策划有限公司2024版《5年高考3年模拟》A版答案B命题意图:本题以测量24小时内降水在平地上的积水厚度为载体,考查学生的空间想象能力、运算求解能力以及应用意识,考查的核心素养是数学运算、直观想象,落实了应用性、综合性和创新性的考查要求.解题思路:作圆锥的轴截面如图,设圆锥形容器中水面的半径为rmm,由题意得r100=150300,所以r=50,则容器内的雨水的体积V=13π×502×150=125000π(mm3).所以24小时内降水在平地上的积水厚度为125000ππ×1002=12.5(mm),所以这24小时降雨的等级是中雨,故选B.2.(2022新高考Ⅰ,4,5分,应用性)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库...
