换元探究指对数复合函数含参恒成立问题纪明亮(江苏省南京市板桥中学210039)【摘要】本文从换元角度探究指对数复合函数不等式恒成立问题,先将问题中变量部分变形,使含变量的部分具有相同的结构形式,并作为整体进行换元,简化函数不等式,再构造关于所换元的函数求其最值确定参数范围.【关键词】指对数复合函数;恒成立;换元;最值换元法是高中数学中的重要思想方法,其内.涵是引入新的变量代替原来的某些变量,巧妙设元将问题简化.指对数复合函数含参恒成立问题中函数形式复杂,若其中变量可通过变形化为结构相同,是否能将其看作整体进行换元简化函数形式?换元之后再如何求解?下面具体实例展开探究.1换元构造函数例1已知函数f(x)=axlnx-xex+ax2+x.若∀x∈(0,+∞),f(x)≤0恒成立,求实数a的值.解因为∀x∈(0,+∞),f(x)=ax2-x2ex+x+axlnx≤0恒成立,所以∀x∈(0,+∞),xex-ax-1-alnx≥0恒成立,则∀x∈(0,+∞),ex+lnx-a(x+lnx)-1≥0恒成立.设t=x+lnx,x∈(0,+∞),则t∈R,则∀t∈R,et-at-1≥0恒成立.设g(t)=et-at-1,t∈R,则g(t)min≥0.因为g'(t)=et-a,所以,当a≤0时,g'(t)=et-a>0,则g(t)在R上单调递增,则g(-1)=1e+a-1<0,不符合题意.当a>0时,令g'(t)=et-a>0,则t>lna,令g'(t)=et-a<0,则t
0,得01,则h(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则h(a)max=h(1)=0,故h(a)≥0时,a=1.评注利用关系式x=elnx使xex-ax-1-alnx≥0中xex=elnx·ex=ex+lnx,得ex+lnx-a(x+lnx)-1≥0,再设t=x+lnx进行换元,构造函数g(t)求其最值.需要注意的是换元之后函数不等式中变量应只有t,且要求出所换元t的范围,它是g(t)的定义域,这样函数g(t)才构造完成,再借助形式简单的函数g(t)来解决恒成立问题.变式1已知函数f(x)=x(x1x-1)-alnx,∀x∈(0,+∞),f(x)≥0恒成立,求实数a的值.解因为∀x∈(0,+∞),f(x)=x(x1x-1)-alnx≥0恒成立,所以∀x∈(0,+∞),elnxx-alnxx-1≥0恒成立.设t=lnxx,x∈(0,+∞),则t'=1-lnxx2,·11·2023年9月上基础精讲《数理天地》高中版令t'>0,得0e,则t=xlnx在(0,e)递单调递增,在(e,+∞)上单调递减,则x=e时取最大值tmax=1e,则t∈-∞,1e.设g(t)=et-at-1,t∈-∞,1e,则g(t)min≥0.当a≤0时,g(-1)=1e+a-1<0,不符合题意.当0
