６８＿“动”与“静”比翼ꎬ“数”与“形”双飞———一道椭圆题的探究龙祁林(湖北省十堰市东风高级中学ꎬ湖北十堰ꎬ４４２００８)摘要:平面解析几何中的最值问题往往可以很好地融入“动”与“静”ꎬ而解决问题时又可以体现“数”与“形”ꎬ成为高考命题的一个重要场景.本文结合一道高考模拟题ꎬ并结合“动”与“静”的场景ꎬ从“数”与“形”两个视角切入ꎬ展示不同的解题思维与技巧方法ꎬ指导教师的数学教学与学生的学习以及数学解题研究.关键词:椭圆ꎻ最值ꎻ函数ꎻ几何ꎻ变式涉及平面解析几何中参数、代数式等的最值问题ꎬ一直是高考数学试卷中的一个熟悉“面孔”ꎬ难度中等及以上.此类问题可以有效综合点、直线、圆、圆锥曲线等相关元素ꎬ合理交汇其他相关知识ꎬ题目新颖ꎬ背景生动ꎬ“动”“静”结合ꎬ融合度高ꎬ变化多端ꎬ形式各样.而解决问题时又可以“数”“形”转化ꎬ给考生以更多的视角与机会ꎬ充分体现试题的选拔性与区分度ꎬ备受各级各类考试的命题者青睐.１问题呈现问题:(２０２３届广东省佛山市普通高中教学质量检测(二)高三数学试卷(佛山二模２０２３年４月)１５)已知Ｆ１、Ｆ２分别为椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１的左、右焦点ꎬＰ是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点ꎬ则ｓｉｎ∠Ｆ１ＰＦ２的最大值为.此题以椭圆为背景ꎬ结合定直线上的动点与两焦点所对应的张角的确定ꎬ以“动”态视角展示ꎬ结合“静”态观点来确定其正弦函数值的最值问题ꎬ“动”与“静”巧妙融合ꎬ定值与最值合理联系.在实际解决问题时ꎬ主要从以下两个方面来展开与应用ꎬ一方面可以从“数”的视角切入ꎬ利用函数思维来进行数学运算与推理应用ꎬ往往直译题设条件ꎬ结合运算来进行逻辑推理与分析ꎻ另一方面也可以从“形”的视角切入ꎬ利用几何思维来进行数形结合与直观应用ꎬ往往探寻结论条件ꎬ结合几何直观来进行推理分析与应用.２问题破解２.１思维视角一:函数视角方法１:(正切函数法)解析:依题知ꎬＦ１(－１ꎬ０)ꎬＦ２(１ꎬ０)ꎬ椭圆右顶点Ａ(２ꎬ０)ꎬ设过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点Ｐ(２ꎬｔ)ꎬ不失一般性ꎬ不妨设ｔ>０ꎬ结合三角函数的定义以及三角恒等变换公式ꎬ有ｔａｎ∠Ｆ１ＰＦ２＝ｔａｎ(∠Ｆ１ＰＡ－∠Ｆ２ＰＡ)＝ｔａｎ∠Ｆ１ＰＡ－ｔａｎ∠Ｆ２ＰＡ１＋ｔａｎ∠Ｆ１ＰＡｔａｎ∠Ｆ２ＰＡ＝３ｔ－１ｔ１＋３ｔ×１ｔ＝２ｔ＋３ｔ≤２２ｔ×３ｔ＝３３ꎬ当且仅当ｔ＝３ｔꎬ即ｔ＝３时ꎬ等号成立ꎬ由于０≤∠Ｆ１ＰＦ２<π２ꎬ则知...
