第三节矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、初等变换求矩阵的秩三、矩阵秩的性质矩阵的初等变换和线性方程组矩阵的初等变换和线性方程组四、小结思考题返回上页下页定义1在m×n矩阵A中任取k行和k列(km,kn)，由交点上的k2个元素按照原顺序排成的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子行列式(简称k阶子式).一、矩阵秩的概念当一个k阶子式等于零时，称为k阶零子式.m×n矩阵A的k阶子式共有个.knkmCC(否那么称为非零子式)返回上页下页如果矩阵A中至少有一个r阶非零子式，那么矩阵A的非零子式的最高阶数为r.这是因为，根据行列式展开定理，由所有r+1阶子式都等于零，可推出所有更高阶的子式都等于零.定义2如果矩阵A的非零子式的最高阶数为r，那么数r称为矩阵A的秩，记作:秩(A)、rank(A)或R(A)并且所有r+1阶子式(如果有的话)都等于零，返回上页下页规定:零矩阵的秩等于零，即.0)(OR设A为m×n阶矩阵，显然有),min()(0nmAR)()(TARAR对于矩阵的行阶梯形、行最简形、标准形，矩阵的秩等于非零行的行数.这是因为：行列式与其转置行列式相等，从而A和AT中的子式对应相等.返回上页下页例如，设，00000000003260042321A有2个非零行.(1)任意的3阶子式必含有一个全零行，(2)取非零行所在行、非零行的首个非零元所在列，因此，非零子式的最高阶为2，.2)(AR(此论证可推广至任意的行阶梯形、行最简形、标准形)因此，所所有的3阶子式都等于0；交点上的22个元素必构成一个2阶非零子式.返回上页下页设A为n阶方阵(其n阶子式只有一个)，AnAR)(可逆矩阵又称满秩矩阵；不可逆矩阵又称降秩矩阵.非零子式的最高阶数
