M-矩阵代数Riccati方程的一类简单迭代法关晋瑞1，任孚鲛1，邵荣侠2（1.太原师范学院数学与统计学院，山西晋中030619；2.新疆财经大学统计与数据科学学院，新疆乌鲁木齐830012）摘要：文章研究了M-矩阵代数Riccati方程的数值解法。当方程的系数矩阵为正则奇异M-矩阵时，现有的一些数值方法在计算中存在一定程度的困难。为此提出了一类简单迭代法以求解方程，该方法在每步迭代中只用到矩阵乘法，运算量小且易于实现。理论分析和数值实验表明该方法是可行的，而且在一定情况下有效。关键词：代数Riccati方程；正则M-矩阵；牛顿法；迭代法中图分类号：O241.6文献标识码：A文章编号：1008-9659（2023）03-0001-05文章研究如下形式代数Riccati方程的数值解法XCX-AX-XD+B=0（1）其中A∈Rm×m，B∈Rm×n，C∈Rn×m，D∈Rn×n是已知矩阵，而X∈Rm×n是未知矩阵，且由系数矩阵构成的K=()D-C-BA（2）是M-矩阵。这种类型的代数Riccati方程在文献中一般被称为非对称代数Riccati方程或者M-矩阵代数Riccati方程，文章沿用M-矩阵代数Riccati方程的名称。M-矩阵代数Riccati方程在中子运输理论、排队论、应用概率论和控制论等领域中具有广泛的应用［1-4］。式（2）中的K是非奇异的M-矩阵或者不可约奇异的M-矩阵时，人们对式（1）已进行了深入的研究，并取得了大量的成果［5-13］。而对于K是正则可约奇异M-矩阵的情形，相关的研究则较少，一方面是由于问题的复杂性，另一方面是由于许多经典的数值方法如牛顿法、保结构加倍算法等的收敛性很难得到保证。但在应用中这种情形也很重要，例如在Markov链的研究中，往往会遇到K是正则奇异M-矩阵的情形。GUO等人首先研究了方程最小非负解的存在性以及一些简单性质，又对保结构加倍算法的收敛性进行了深入的分析，指出在一定条件下该方法仍具有二次收敛率［14-15］。GUAN等人给出最小非负解存在性的一类较为简单的证明，并进行了推广［16］。最近，MA等人对于K是正则可约奇异M-矩阵的情形进行了研究，并提出了两类数值方法：修正牛顿法和Jacobi型不动点迭代法［17］。修正牛顿法的迭代格式如下：(αI+A-XkC)Xk+1+Xk+1(βI+D-CXk)=B-XkCXk+(α+β)Xk，k=0,1,2,…其中X0=0，且α>0，β>0是两个给定的参数。Jacobi型不动点迭代法的迭代格式如下：(αI+A1)Xk+1+Xk+1(βI+D1)=B+XkCXk+(α+β)Xk+A2Xk+XkD2，k=0,1,2,…其中X0=0，A=A1-A2，D=D1-D2，且A1与D1分别是A与D的对角元，而α>0，β>0是两个给定的参数。有关理论分析表明，修...
