最优控制问题中Ｒｉｃｃａｔｉ方程解的一致收敛性＊薛亮１，李伟伟２（１．安徽工业职业技术学院基础部，安徽铜陵２４４０００；２．山东省聊城市第三中学，山东聊城２５２０００）摘要：讨论了在Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中无限时区线性时变系统状态方程组中最优控制问题的背景下，Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程组解的一致收敛性．给出了Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程解一致收敛的一些充分条件．Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程解的一致收敛性，对于随机演化系统自适应控制问题的应用具有重要意义．关键词：Ｈｉｌｂｅｒｔ空间；Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程；最优控制问题；一致收敛性中图分类号：Ｏ２３２文献标识码：Ａ文章编号：１６７３－２１０３（２０２３）０２－０００１－０６０引言近年来，针对线性控制系统的一致能控性和能观性问题以及ＬＱＲ问题［１－９］，学者们做出了大量研究，这些性质对控制系统具有重要意义．其中对于Ｈｉｌｂｅｒｔ空间中的无限时间线性二次最优控制问题，Ｒｉｃｃａｔｉ方程的解在最优控制和最优成本的计算中起着重要作用［１０－１３］．本文的主要目的是研究在线性时变系统状态方程组中最优控制问题的背景下，Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程组解的一致收敛性．在Ｈｉｌｂｅｒｔ空间上定义抽象线性方程，设Ｈ和Ｕ表示两个实可分Ｈｉｌｂｅｒｔ空间．设α为实值参数，且α→０和０≤α＜１.假设Ａα（ｔ）是Ｈ中的线性算子，Ｂα（ｔ）：Ｕ→Ｈ是控制算子，Ｒ（ｔ）是Ｈ上的有界线性算子.考虑以下二次最优控制问题：ｄｙα（ｔ）ｄｔ＝Ａα（ｔ）ｙα（ｔ）＋Ｂα（ｔ）ｕα（ｔ），ｔ≥ｓ≥０ｙα（ｓ）＝ｙ■■■０（１）Ｊα（ｙα，ｕα）＝∫∞ｓ（‖Ｒ（ｔ）ｙα（ｔ）‖２Ｈ＋‖ｕα（ｔ）‖２Ｕｄｔ（２）其中‖·‖表示范数．通过（１）和（２）式，结合以下Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程：Ｐ′α（ｔ）＋Ａ＊αＰα（ｔ）＋Ｐα（ｔ）Ａα（ｔ）＋Ｒ＊（ｔ）Ｒ（ｔ）－ＰαＢα（ｔ）Ｂ＊α（ｔ）Ｐα（ｔ）＝０（３）适当的条件下，存在唯一的解Ｐα（ｔ）∈式（３）的Ｌ（Ｈ），其中Ｌ（Ｈ）表示Ｂａｎａｃｈ空间上从Ｈ到Ｈ的所有有界线性算子.本文讨论的问题是：Ａα（ｔ）、Ｂα（ｔ）和Ｒ（ｔ）在上述的条件下，可以得到一致收敛，当α→０，‖Ｐα（ｔ）－Ｐα（ｔ）‖Ｌ（Ｈ）→０（４）式（４）中Ｐ（ｔ）＝Ｐ０（Ｔ），Ａ（ｔ），Ａ０（ｔ），Ｂ（ｔ）＝Ｂ０（ｔ）.本文将证明一类时变系统的二次型最优控制问题中，Ｒｉｃｃａｔｉ微...
