专题03与角平分线有关的辅助线的三种考法类型一、角平分线上的点向两边作垂线例1．如图，已知，P是的平分线上的任意一点，交于点D，于点E，如果，求的长．【答案】4cm【详解】如图，过点P作PF⊥OB于点F， OC平分∠AOB，PE⊥OA，∴PF＝PE，∠EOP＝∠DOP PDOA，∠AOB＝30°，∴∠PDF＝∠AOB＝30°，∴∠DPO＝∠EOP＝∠DOP，∴PD＝OD＝8cm在RtPDF△中， ∠DFP=90°,∠FDP=30°∴PF=PD=4cm，∴PF＝PE＝4cm．【变式训练1】如图，中，，点分别在边，上，，．求证：平分．【答案】见解析【详解】证明：过点作于点．．在和中，．．点在的平分线上．平分．．【变式训练2】图，已知AE⊥AB，AF⊥AC．AE＝AB，AF＝AC，BF与CE相交于点M．(1)EC＝BF；(2)EC⊥BF；(3)连接AM，求证：AM平分∠EMF．【答案】(1)见解析．(2)见解析．(3)见解析．【解析】(1)证明： AE⊥AB，AF⊥AC，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，即∠EAC＝∠BAF，在△ABF和△AEC中， ，∴△ABF≌△AEC（SAS），∴EC＝BF；(2)根据（1）， △ABF≌△AEC，∴∠AEC＝∠ABF， AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，∴∠AEC+∠ADE＝90°， ∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM＝90°，在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°90°﹣＝90°，所以EC⊥BF．(3)作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图： △EAC≌△BAF，∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）． AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，∴AM平分∠EMF．【变式训练3】已知点C是∠MAN平分线上一点，∠BCD的两边CB、CD分别与射线AM、AN相交于B，D两点，且∠ABC+∠ADC＝180°．过点C作CE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，当点E在线段AB上时，求证：BC＝DC；（2）如图2，当点E在线段AB的延长线上时，探究线段AB、AD与BE之间的等量关系；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠MAN＝60°，连接BD，作∠ABD的平分线BF交AD于点F，交AC于点O，连接DO并延长交AB于点G．若BG＝1，DF＝2，求线段DB的长．【答案】（1）见解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由见解析；（3）3．【详解】（1）证明：如图1，过点C作CF⊥AD，垂足为F， AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF， ∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如图2，过点C作CF⊥AD，垂足为F， AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF， ∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE...
