第32卷第2期河南教育学院学报(自然科学版)Vol.32No.22023年6月JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScienceEdition)Jun.2023收稿日期:2022-05-05作者简介:时统业(1963—),男,河北张家口人,海军指挥学院副教授,主要研究方向为数学不等式。doi:10.3969/j.issn.1007-0834.2023.02.0013个Ostrowski型不等式的加强时统业(海军指挥学院,江苏南京211800)摘要:基于积分恒等式,用引入参数求最值的方法,建立了凸函数和导数有界的函数不等式,加强了Dragomir给出的Ostrowski型不等式。关键词:Ostrowski型不等式;积分不等式;凸函数;可微函数;加强中图分类号:O178文献标志码:A文章编号:1007-0834(2023)02-0001-060引言为方便起见,记I(x)=(b-a)f(x)-∫baf(t)dt,J(x)=(b-a)(1-h)f(x)+hf(a)+f(b)2()-∫baf(t)dt。设函数f在[a,b]上连续,在(a,b)上可微且存在常数M,使得f′≤M,则对任意x∈[a,b]有f(x)-1b-a∫baf(t)dt≤(x-a)2+(b-x)22(b-a)M,(1)式(1)称为Ostrowski不等式[1]。有关Ostrowski不等式的改进和推广见文献[2-23]。Ostrowski不等式是在导数有界的情况下,给出函数的平均值与函数值之差的估计。如果函数f是[a,b]上的凸函数且f′+(a)和f′-(b)都存在,则有f′+(a)≤f′≤f′-(b)。针对这种导函数有界的特殊情形,Dragomir给出了Ostrowski不等式改进的结果[4]。定理1[4]设f是[a,b]上的凸函数且f′+(a)和f′-(b)都存在,则对任意x∈[a,b],有12((x-a)2f′+(a)-(b-x)2f′-(b))≤I(x)≤12((x-a)2f′-(x)-(b-x)2f′+(x))。(2)Dragomir在文献[5]中针对导函数在[a,x]和[x,b]上有不同的界的情形,给出了Ostrowski型不等式。定理2[5]设f是[a,b]上的可微函数,x∈[a,b],存在函数mi,Mi:[a,b]→R(i=1,2),使得m1(x)≤f′(t)≤M1(x),t∈[a,x],m2(x)≤f′(t)≤M2(x),t∈(x,b],则有12((x-a)2m1(x)-(b-x)2M2(x))≤I(x)≤12((x-a)2M1(x)-(b-x)2m2(x))。(3)文献[6]利用恒等式J(x)=∫xat-a+hb-a2()()f′(t)dt+∫bxt-b-hb-a2()()f′(t)dt,建立了带有参数的Ostrowski型不等式,使得Ostrowski不等式和梯形不等式成为其特例。定理3[6]设f在[a,b]上连续,在(a,b)内可微,且M=supt∈(a,b)f′(t)<∞,则对任意的h∈[0,1]和任意的x∈a+hb-a2,b-hb-a2éëêêùûúú,有2河南教育学院学报(自然科学版)2023年J(x)≤(b-a)24(h2+(1-h)2)+x-a+b2()2()M。(4)本文使用文献[24]通过引入参数求最值的方法给出式(2)~(4)的加强。1主要结果定理4设f是[a,b]上的凸函数,且f′+(a)和f′-(b)都存在,则对任意x∈(a...
