变量代换方法多 解题轻松又快乐.pdfVIP免费

2023年第2期河北理科教学研究问题讨论在数学解题中，变量代换是一种常用的重要的数学方法，用代换法通常可以将分散的条件集中起来，或者将条件与结论联系起来，使问题化繁为简、化难为易，特别是在不等式的证明、研究函数的性质以及化简求值中应用较为广泛.变量代换的实质是实施数学中的转化思想，这样就可以变生疏为熟悉、变未知为已知，起到化繁为简、化难为易的效果，从而优化解题过程，这样有利于提高学生分析问题、解决问题的能力.需要注意的是，在进行变换时一定要确保等价.1均值代换例1若x+y+z=1，且x,y,z∈R，求证：x2+y2+z213.证明：令x=13+α,y=13+β,z=13+γ(α+β+γ=0)，则有x2+y2+z2=13+α2+β2+γ213（当且仅当x=y=z=13时取等号）.2和差代换例2已知实数x,y满足x2-xy+y2=1，求x2-y2的取值范围.解析：设x=m+n，y=m-n，则x2-xy+y2=m2+3n2=1. m2+3n2≥23||mn（当且仅当m2=3n2时取等号），∴-36mn36.又 x2-y2=4mn，∴-2334mn233,即x2-y2的取值范围是éëêêùûúú-233,233.例3设a、b、c是三角形三边的长，求证：ab+c-a+bc+a-b+ca+b-c3.分析：待证式的左边分母太复杂，设法减少分母中的元的个数，同时注意到左边为轮换式，当a=b=c时等号成立.证明：设a=x+y，b=y+z，c=z+x(x,y,z>0)，则有b+c-a=2z，c+a-b=2x，a+b-c=2y，则左边=x+y2z+y+z2x+z+x2y=(x2z+öø÷y2x+z2y+æèçöø÷y2z+z2x+x2y3x2z⋅y2x⋅z2y3+y2z⋅z2x⋅x2y2=32+32=3.当且仅当x=y=z，即a=b=c时，等号成立.变量代换方法多解题轻松又快乐安徽省灵璧县黄湾中学华腾飞234213摘要：在数学解题中实施转化思想，给出了多种变量代换方法，有一定的实用性.关键词：变量代换；转化思想；方法归纳··272023年第2期河北理科教学研究问题讨论3整体代换例4设x,y,z>0，x+y+z=1，求1x+4y+9z的最小值.分析：注意到x+y+z=1，其它的代数式与之相乘后不会改变其原来的性质，就本题来说，相乘后可得到能利用均值不等式的模式.证明：1x+4y+9z=(x+y+z)æèç1x+4y+)9z=14+yx+4xy+4zy+9yz+9xz+zx14+2æèççöø÷÷yx⋅4xy+4zy⋅9yz+9xz⋅zx=14+2(2+6+3)=36.当x=16，y=13，z=12时，等号成立.例5设M是△ABC内一点，定义f(M)=(m,n,p)，其中m,n,p分别是△MBC,△MAC,△MAB的面积.若S△ABC=1，f(M)=(12,x,y),则1x+4y的最小值为_____.解析： 若S△ABC=1，∴当f(M)=(12,x,y)时，得12+x+y=1，即x+y=12，从而1x+4y=2(x+y)(1x+4y)=2(5+xy+4xy).显然x>0,y>0，∴1x+4y≥2(5+24)=18....