62023年第7期数学教学HPM视角下的球体积公式课例研究朱亮雅刘叶青？（1.华东师范大学松江实验高级中学，上海201620；2.华东师范大学教师教育学院，上海200062)1引言《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确指出：高中的数学教育应该帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界"].在“新课标”的指引下，上海高中数学教科书也进行了全新的设计.以“球的体积”为例，旧版教材将其编排在“几何体的体积”中，与球的表面积分开设置，且直接给出计算公式而不给予严格的证明；新版教材则将两者统一编排在“球”这一节中,并且对于体积和表面积公式给出了严格的证明.这样的编排不仅体现了知识的连贯性与整体性，更是进一步落实了“新课标”对学生理性精神、逻辑思维培养的要求.球体积公式的严格论证并非易事，学生也势必会遇到较大的困难，也许这正是旧版教材不强调推导、仅给出公式的原因.那么，如何开展教学才能更好地帮助学生理解论证的方法、体会背后的数学思想，从而落实课标及教科书的要求,这是摆在每一位高中数学教师面前的问题.笔者尝试从HPM的视角开展球体积公式的教学，希望借助古今中外丰富的数学思想和前人的智慧来铺平学生的学习之路.综合考虑课标、教材及学情，笔者确定本节课的教学目标：（1）理解祖原理，知道其在球体积公式严格推导证明中的作用.能够利用球体积公式解决简单的问题（2）学生经历球体积公式探究、猜想、论证的完整过程，并掌握此过程中所涉及的类比、转化、极限等数学思想.（3）学生能够体会到数学的理性精神，感受到数学方法之美，并领略到中国在数学发展史上所做出的杰出贡献，增强民族自信。2史料梳理及选择2.1史料的梳理球是日常生活中常见的几何体，古今中外诸多数学家在探求球体积公式的道路上展现出了人类的无穷智慧他们所提供的各种论证方法的背后蕴含着大量值得我们不断体会和学习的数学思想.因此，在前教学设计阶段，笔者首先对数学著作及19一20世纪欧美早期几何教科书中出现的论证方法加以梳理（表1），以厘清它们的论证原理及所蕴含的数学思想.通过对史料的梳理，笔者发现：（1）除阿基米德的物理方法之外,所有数学论证的方法均利用了无穷思想，并且本质上都将球体积的计算转化为简单几何体（如锥体、柱体等）的体积计算。（2）球体积公式与球表面积的公式并无必然的先后关系，可以基于表面积推导球的体...
