GUANGDONGJIAOYUGAOZHONG从2023年全国新高考数学I卷第22题的求解谈备考启示广东省东莞市嘉荣外国语学校易文辉李亚秀2023年全国新高考数学I卷第22题是一道好题，把解析几何的基本思想体现得淋漓尽致，整个试题设计匠心独运，背景简单而深刻，体现了基础性、综合性、应用性和创新性，突出思维的考查，对广大考生备考有很好的导向作用。、真题呈现（2023年全国新高考数学I卷第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于到点（0的距离，记动点P的轨迹为W.(1)求W的轨迹方程；(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3/3.二、真题解析(1)y=x2过程省略）(2)解法1：不妨设A，B，D三点在W上，且BAIDA，显然AB，AD的斜率都存在且不为零，原命题等价于证明33IABI+IADI>32设A(a,a°+直线BA，DA的斜率分别为k，由对称性不妨设k>0，则直线AB的方程为：-（ak(x-a),即y=kx+a²ka.41=x4联立方程，y=kx+a?由韦达定理：xaxg=ka-α²，即xg=k-a.故|AB|=(x-x)"+(yA-y)=1+1+k/k-2al.同理可得IADIk:[AB|+[AD|=V1+kIk-2a①当k≥1时,k≥1IAB|+IAD|=V1+k?12a当且仅当k=1时等号成立.由于Ih-2al+1++2ak1k+IABI+IAD22K41=1即k=/2时均值不等式等号成立，两次放缩等号不能2同时成立.②当0,2评注：解法1是常规解法，考生不难想到根据矩形的特征，原问题转化为抛物线的两条弦长之和问题，可以通过弦长公式|AB|=V1+|xi-α2l、韦达定理解决，在问题求解过程中，考生的难点在于求AB|+IAD|=1+K1[k-2a]+2a的最小值，由于这是关于k，a的二元函数求最值问题，可以通过含绝对值三角不等式la|+|b|≥la±b|消去2a.事实上，根据含绝对值函数的+2a当k=2a或者1性质，V1+k|k-2al+k=-2a时取得最小值，可以根据抛物线的对称性，不妨设a<0，则显然有1+klk-2al++2ak21V1+Kk+1V1+k+的最小值，可以用均值不等式也可构造函数k(1+t)3t?+3t+kaB·kaD=-1，因此可以不妨设|h|≤1即00，n>0的最小值问题有以下结论：①当m≥n时,f(x)≥n(|x-a[+[x-bl)≥n|b-al;②当m≤n时,f(x)≥m(lx-al+lx-bl)≥mlb-al;即f(x)=m|x-a|+n|...
