数学中的无限A.W.Moore*著隋婷婷王小塞**译内容提要：有关数学中无限的研究大部分发源于近代。首先，文章将概述德国杰出数学家格奥尔格·康托尔的思想。康托尔的研究具有深远的革命性意义，他不仅证明了无限的可比较性，还发明了用以测量无限的无穷数并展示了计算过程。然而，这一研究在康托尔的同时代人（19世纪末到20世纪初）当中引发了巨大的分歧，这也导致了康托尔精神的彻底崩溃。此外，这些研究还引发了一些新悖论，这也促成了很多数学基础性工作的崩溃，文章将阐述其中一些悖论，如罗素悖论，并讨论一些数学家，特别是戈特洛布·弗雷格的相关回应。弗雷格曾试图为数学提供一个严格可靠的基础，但罗素悖论似乎完全摧毁了他毕生的工作。文章还将进一步探讨这些悖论在数学上的后续发展，如哥德尔的研究。一个结论是，通过将无限置于正式的审视中，数学家最终为自己制造了更多难以解决的问题，他们还因此不得不考虑一些位于这门学科核心的深奥谜题。*牛津大学哲学系教授、牛津大学圣休学院教导学者。**隋婷婷，北京大学外国哲学研究所、北京大学哲学系博雅博士后。王小塞，北京大学外国哲学研究所、北京大学哲学系助理教授。译者致谢：在此感谢尚新建教授对译文的宝贵建议，以及罗诗曼同学在文本校对方面的协助。262外国哲学关键词：算术基础康托尔罗素悖论弗雷格哥德尔维特根斯坦一、康托尔有关“无限”的数学著作数学领域对无限的研究也可被看作是对无限本质在技术层面的正式研究。在《古代和中世纪思想中的无限》①中，我们曾回溯了历史上对无限的研究。本次将讨论无限在19世纪的发展。与2500年前相比，这可以算作是近期的研究。这一现象表明，在人们对无限的概念进行严肃、正式的处理前，关于无限的思想史已经历经了漫长的发展。这方面的关键人物是格奥尔格·康托尔（GeorgCantor），他是一位杰出的数学家，也是数学方面所有相关工作的发起人，并且，他实际上创造了一个全新的数学分支。他的研究成果非常出色，但这些成果就某些方面而言很反直觉。特别是他做了一件前无古人的事，即区分不同阶的无穷。康托尔承认有各种各样的无限集合，但他认为严格说来，在数学能够精确定义的意义上，一些集合大于另一些集合。此外，他引入了无穷数用于测量不同的无限集合的大小。因此，就像我们用普通的自然数（1、2、3、4、5等）来说明有限对象的大小一样，我也可以用无穷数来说明无限对象的大小。这里无法详述所有的技术细节，但下面将简要说明康托尔如...
