数学年刊Ａ辑２０２３，４４（２）：１３３１４６ＤＯＩ：１０．１６２０５／ｊ．ｃｎｋｉ．ｃａｏｍａ．２０２３．００１１对称群的表示环＋戴莉兰１黎允楠１提要本文利用有限群特征标理论计筧了对称群的所有不可约复表示的幂公式．根据求解幂公式过程中得到的任意两个不可约表示张量积的分解情况，作者刻画了５＾上表示环ｒ〇Ｓ５）及其若干结构性质，如极小生成元关系式表达、单位群、本原幂等元、行列式与Ｃａｓｉｍｉｒ数．关键词群特征标，对称群，Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积，表示环ＭＲ（２０００）主题分类２０Ｃ１５，２０Ｃ３０中图法分类０１８７．２文献标志码Ａ文章编号１０００－８３１４（２０２３）０２－０１３３－１４§１引言已知有限群的全体不可约表示同构类后，考虑任意两个不可约表示的张量积的合成因子情况是群表示理论的一个核心问题．特别地，对称群知的任意两个不可约复表示的张量积（又称Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积）是完全可约的，其不可约分支出现的重数称为Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ系数．它们也可以解释为两个Ｓｃｈｕｒ函数的内积关于Ｓｃｈｕｒ函数自身这一整基的展开系数．Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ系数的概念可追溯到１９２７年，在Ｒｅｄｆｉｅｌｄ研究对称函数内积的工作中出现Ｗ．１９３８年Ｍｕｒｎａｇｈａｎ系统研究Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ系数，继而引起广泛关注Ｋ在对称群表示理论中，一个尚未解决的公开问题是给出Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ系数的组合描述，虽然一般情况下的刻画是非常困难的，但针对一些特殊情形的Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ系数，其组合描述已有相当多研究成果［３８］，大多数结果都局限于非常具体形状的划分（钩子，两行等）．Ｂｉｉｒｇｉｓｓｅｒ等人在２００８年表明，Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ系数是难以计算的Ａ而关于Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积最为经典的研究成果是由Ｍｕｒｎａｇｈａｎ获得的，他在一系列的论文１１Ｑ＿１４１中提出了可适用于任意对称群５＾的Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积和对称Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ积的相关公式．在掌握了群乃至Ｈｏｐｆ代数的任意两个不可约表示张量积的分解情况后，自然可以考虑它的表示环结构．表示环最早是在１９６２年Ｇｒｅｅｎ在文［１５］中提出，因此表示环也称Ｇｒｅｅｎ５不，特别地，当我们考虑的Ｈｏｐｆ代数是半单的，表示环也是ｆｕｓｉｏ...
