第36卷第3期纺织高校基础科学学报Vol.36,No.32023年6月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNIVERSITIESJun.,2023引文格式:牟全武,李立.Pell方程x2-11y2=1和y2-Dz2=9的公解[J].纺织高校基础科学学报,2023,36(3):98-102.MUQuanwu,LILi.ThesimultaneoussolutionsofthePellequationsx2-11y2=1andy2-Dz2=9[J].BasicSciencesJournalofTextileUniversities,2023,36(3):98-102.收稿日期:2022-05-30修回日期:2022-12-10基金项目:国家留学基金(202008615008);陕西省自然科学基础研究计划项目(2019JM-337)通信作者:牟全武(1977—),男,西安工程大学副教授,博士,研究方向为解析数论。Email:muquanwu@163.comPell方程x2-11y2=1和y2-Dz2=9的公解牟全武,李立(西安工程大学理学院,陕西西安710048)摘要研究了Pell方程x2-11y2=1和y2-Dz2=9的公解问题,这里D为不含平方因子的偶数且至多包含4个奇素因子。利用递推序列、Pell方程及四次丢番图方程解的性质证明了方程当D=2×199时仅有公共正整数解x=3970,y=1197,z=60;当D取值为其他情形时仅有公解x=±10,y=±3,z=0。关键词不定方程组;递推序列;正整数解;Pell方程开放科学(资源服务)标识码(OSID)中图分类号:O156.7文献标志码:ADOI:10.13338/j.issn.1006-8341.2023.03.014ThesimultaneoussolutionsofthePellequationsx2-11y2=1andy2-Dz2=9MUQuanwu,LILi(SchoolofScience,Xi’anPolytechnicUniversity,Xi’an710048,China)AbstractThesolutionsofthesimultaneousPellequationsx2-11y2=1andy2-Dz2=9werestudied,whereDwasasquare-freeevennumberwithatmost4oddprimefactors.ByusingtherecurrentsequenceandsomepropertiesduetothesolutionsofPell'sequationandquarticDio-phantineequation,itisprovedthattheequationsintitlehaveonlythecommonpositiveintegersolutionx=3970,y=1197,z=60incaseD=2×199;theequationsonlyhavethecommoninte-gersolutionsx=±10,y=±3,z=0inothercases.KeywordsDiophantineequations;recurrentsequence;positiveintegersolution;Pell'sequation1引言与主要结论Pell方程是一类重要的二次丢番图方程,它的解结构已是数论中的经典结果。求2个Pell方程的公共解引起不少研究者的兴趣,例如著名数学家BAKER等证明了Pell方程y2-3x2=-2与z2-8x2=-7仅有2组公共正整数解x=y=z=1和x=11,y=19,z=31[1];KANAGASAPATHY等后来利用递推序列方法对这一结果给出了初等证明[2]。设D为大于1且不含平方因子的正整数,a为大于1...
